Um corolário da desigualdade de Doob para submartingales gerais
Tenho tentado provar o seguinte resultado:
Deixei $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$ser um submartingale ou supermartingale. Use Desigualdade de Doob e Decomposição de Doob para mostrar que, para todos$n \in \mathbb N$ e $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ Onde $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
A versão da desigualdade de Doob que estamos usando é que para qualquer $p \geq 1$, $\lambda > 0$, e martingale ou submartingale positivo $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Basta provar este resultado quando $X$é um submartingale. Usando a decomposição de Doob$X = M+A$, $M$ um martingale e $A$ um processo cada vez mais previsível com $A_0 = 0$ (assim $A$é um submartingale positivo), pode-se de fato mostrar uma desigualdade mais forte. Na verdade, desde$A$ é positivo e crescente, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. E desde$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ do qual segue-se que $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Usando essas desigualdades, segue-se que \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Minha pergunta é dupla:
- Há um erro neste argumento, como uma falha em minhas suposições ou uma suposição injustificada que não estou percebendo? E se não,
- Há uma razão para o livro que estou usando ( Teoria da probabilidade de Klenke : um curso abrangente ) usar os coeficientes$12$ e $9$ ao invés de $9/2$ e $6$? O resultado declarado é de alguma forma mais clássico ou mais fácil de mostrar usando propriedades mais fundamentais dos martingales e da decomposição Doob?
Este problema também foi discutido aqui , mas este tópico realmente não aborda a aparente arbitrariedade dos coeficientes$12$ e $9$. Alguém pode fornecer alguma ideia?
Respostas
Este é apenas um fragmento de uma resposta, porque não menciono sua prova ou as técnicas que ela usa, mas é muito longa para um comentário. Minha intuição é que os coeficientes são arbitrários porque não são ótimos. Aqui está uma melhoria possível, que retirei do livro Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus, de Jean-François Le Gall (p.263)
Desigualdade máxima se$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ é um supermartingale então para todos $\lambda>0$ e $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Prova (não consta do livro). Consertar$\lambda>0$ e $k\in\mathbb{N}$. Deixei$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Defina o tempo de parada$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, e observe que $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Desde a$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ é um supermartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Agora deixe $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ e $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Nós temos$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Reorganizar e somar as duas desigualdades dá $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ A propósito, também provamos que um limite superior ainda melhor é $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.