Uma pergunta sobre derivados fracionários

Jan 19 2021

Não sei praticamente nada sobre cálculo fracionário, então peço desculpas antecipadamente se a pergunta a seguir for uma pergunta boba. Já experimentei o math.stackexchange.

Eu só queria perguntar se existe uma noção de derivada fracionária que é linear e satisfaz a seguinte propriedade $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ Onde $\alpha$é um escalar. No caso de derivados padrão, teríamos$\alpha = n$.

Muito obrigado.

Respostas

16 TerryTao Jan 19 2021 at 08:15

Basicamente, não há soluções interessantes para esta equação além dos operadores de primeira e zero ordem, mesmo que apenas imponha a restrição declarada para $n=2$.

Primeiro, podemos despolarizar a hipótese$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ substituindo $f$ com $f+g, f-g$ para funções arbitrárias $f,g$ e subtraindo (e depois dividindo por $4$) para obter a identidade de tipo Leibniz mais flexível $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

Agora existem três casos, dependendo do valor de $\alpha_2$:

  1. $\alpha_2 \neq 1,2$. Aplicando (2) com$f=g=1$ então concluímos que $D^u(1)=0$e, em seguida, aplicar (2) novamente com apenas $g=1$ Nós temos $D^u(f)=0$. Portanto, temos a solução trivial$D^u=0$ nesse caso.
  2. $\alpha_2=2$. Então$D^u$é uma derivação e por indução temos$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, assim como com a derivada comum, então só temos $\alpha_n=n$ para todos $n$ sem comportamento fracionário.
  3. $\alpha_2=1$. Aplicando (2) com$g=1$ obtemos (depois de um pouco de álgebra) $D^u(f) = mf$ Onde $m := D^u(1)$. Desse modo$D^u$ é apenas um operador multiplicador, que obedece $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, portanto $\alpha_n=1$ para todos $n$.

Assim, não há soluções lineares para a sua equação além das derivações usuais (por exemplo, $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ para qualquer símbolo suave $a$) e operadores multiplicadores $D^u(f) = mf$, isto é, operadores de primeira ordem e de ordem zero.

Por outro lado, derivados fracionários $D^u$ tendem a obedecer a uma "regra de cadeia fracionária" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ para várias funções suaves $F,f$, onde o erro $E$obedece a melhores estimativas em vários espaços de Sobolev do que os outros dois termos desta equação. Em particular, para$F(t) = t^n$, Nós teríamos $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ para um termo de erro "bom" $E$. Por exemplo, tomando$u=n=2$ com $D$ a derivada usual, temos $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ com $E$o operador " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Observe que o erro $E$ é controlado uniformemente pelo $C^1$ norma de $f$mas os outros dois termos em (3) não são. Veja minha resposta anterior do MathOverflow emhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 para algumas referências e discussão adicional.

6 IosifPinelis Jan 19 2021 at 05:33

Parece que você realmente quer $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, Onde $\alpha$ é um escalar.

Não há razão para que isso seja verdade, e isso é realmente falso em geral. Por exemplo, para$n=2$e a derivada fracionária de Riemann - Liouville de$f:=\exp$ com $u=1/2$, $a=0$, e $x>0$ temos $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ enquanto $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ de modo a $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ é bem diferente de qualquer constante.

Além disso, o termo $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ na expressão para $(D^u(f^n))(x)$ aqui contra o termo $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ na expressão para $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ parece tornar muito improvável que qualquer outro tipo de derivada fracionária funcione como você deseja.

5 TomCopeland Jan 19 2021 at 05:02

A fórmula de Leibniz generalizada aplicável ao integroderivativo fracionário clássico é

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

Onde $D_L$ atua na função à esquerda do produto e $D_R$na função certa. Veja, por exemplo, regras de Leibniz e análogos integrais para derivados fracionários por meio de uma nova fórmula de transformação de Fugere, Gaboury e Tremblay.

Esta regra de Leibniz generalizada se aplica à integroderivada fracionária que satisfaz os axiomas sensíveis dados por Pincherle descritos em "O Papel de Salvatore Pincherle no Desenvolvimento do Cálculo Fracionário" por Francesco Mainardi e Gianni Pagnini - aqueles satisfeitos pela derivada usual elevada a poderes integrais, negativo ou positivo. Os representantes desta operação são apresentados neste MSE-Q e podem ser usados ​​para definir o confluente (consulte este MO-Q ) e fcts hipergeométricos regulares.

Essas repetições de $D^{\omega}$estão no centro das definições das funções beta e gama de Euler por meio de integrais, generalizações dos fatoriais integrais e coeficientes binomiais integrais (ver minha resposta a / refs neste MO-Q ), que a maioria dos pesquisadores usa com frequência em seus esforços matemáticos- - ao contrário de algumas opiniões expressas no MO. Veja um exemplo da meia-derivada neste MO-Q (que muitos usuários aparentemente confundem com algum operador pseudo-diferencial definido pela transformada de Fourier).