Valores próprios de uma matriz quase diagonal [duplicado]

Question

Eu sei que o autovalor de uma matriz diagonal são simplesmente os valores na diagonal. No entanto, se eu tiver uma matriz da seguinte forma:

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$Existe uma forma fechada de expressar os autovalores desta matriz? Posso derivar o valor próprio dos blocos menores ao longo da diagonal, mas como ele se relaciona com a matriz geral?

Answer 1

Os valores próprios de uma matriz diagonal de bloco são os valores próprios de cada bloco. Os autovetores correspondentes são os autovetores de cada bloco preenchido com zeros. Por exemplo:

Os valores próprios da matriz $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ está $7$ e $1$, e os autovetores correspondentes são respectivamente $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

Os valores próprios da matriz $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ está $2+\sqrt{2}$, $2$, e $2-\sqrt{2}$ e os autovetores correspondentes são respectivamente $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Os valores próprios da matriz $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ está $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, e $2-\sqrt{2}$, e os autovetores correspondentes são respectivamente $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Se você tem uma matriz de bloco $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ seu polinômio característico é $p_A(x)p_B(x)$.