Константа Фейгенбаума

Моя последняя статья была очень кратким введением в теорию хаоса, где я в основном писал об эффекте бабочки , то есть концепции, с которой началась теория хаоса. Ранее я обсуждал график населения в одной из своих статей . Я описал график как фрактал под названием «смоковница». Я также упомянул, что фракталы являются частью теории хаоса. Итак, как же хаос наконец формирует этот граф?

Есть действительно известная константа, которая упоминается наряду с другими известными математическими константами, такими как π, sqrt{2}, e, i и т. д. Лично я никогда не слышал о ней раньше, до недавнего времени. Эта константа называется « Константа Фейгенбаума », ее значение равно δ = 4,6692016……., что означает, что она иррациональна, как π или e. Есть две константы Фейгенбаума. Другой называется символом α, но это уже совсем другая история, о которой я не буду говорить в этой статье.

Примерно в 1970-х годах ученый по имени Роберт Мэй написал статью, в которой написал уравнение, моделирующее рост населения. Уравнение выглядит следующим образом:

Здесь x_(n+1) — численность населения в следующем году, x_n — численность населения в настоящее время, а λ — рождаемость. Это уравнение представляет собой логистическую карту или просто функцию роста населения. Итак, в основном, используя это уравнение, мы можем предсказать, какой будет численность населения в сообществе в следующем году. Я сказал, что λ подобен рождаемости населения. Итак, если ценность высока, то имеет место высокая рождаемость, а если низкая, то слабая рождаемость. Значение λ находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает отсутствие разведения, а 1 означает полное разведение.

Теперь ученые, которые интересовались ростом населения, повторили этот график, чтобы наблюдать за изменениями населения в будущем. В RHS или правой части данного уравнения x_n — это жизнь, а (1 — x_n) — это смерть.

Хорошо. Возьмем теперь любое значение x_1. Пусть это будет 0,5, то есть пусть население будет вдвое меньше. Я принимаю значение λ равным 2,3.

Итак, если мы посчитаем население следующих лет по уравнению, то есть x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, будет

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652 соответственно.

Вы можете заметить, что значение стало постоянным. Другими словами, рост населения стабилизировался. Это называется фиксированной точкой в ​​итерации.

Что произойдет, если мы изменим λ. Давайте выберем очень маленькое значение λ, где-то между 0 и 1. Скажем, 0,65. Интуитивно понятно, что произойдет, если рождаемость будет очень низкой. Но давайте все же посчитаем сохранение x_1 равным 0,5. Когда я рассчитал x_2, x_3, x_4….. следующие значения я рассчитал.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0002

Население мертво.

Что произойдет, если я возьму более высокое значение фертильности, скажем, 3,2?

Я снова вычислил его с x_1 как 0,5, после многих итераций я заметил, что значения продолжаются как,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,….. Популяция стабильна, но стабильна при 2 значениях.

Теперь я возьму тщательно подобранное значение λ, равное 3,5.

С x_1 как 0,5, снова выполняя вычисления, я заметил, что значения после многих итераций продолжаются как,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,0,0,4…

На этот раз значение стабильно на уровне 4 значений.

Теперь давайте сделаем графики из всех случаев, которые мы видели.

а) Когда население стабилизировалось

б) Когда население вымерло

c) Когда население прыгает между двумя значениями

г) Когда население прыгало между четырьмя значениями

Теперь, с полученными результатами, мы построим график с λ на оси x и населением на оси y. Вот что вы получите:

При λ = 3,2 мы получили два повторяющихся значения. Таким образом, вы заметите, что здесь граф раздваивается. «Раздвоение» — это просто изощренный способ сказать, что граф раздваивается. Точно так же примерно в 3,5 он снова раздваивается на четыре. Это продолжается, но гораздо быстрее. Теперь граф будет раздваиваться еще быстрее при очень малых изменениях самого λ. Через некоторое время график показывает что-то необычное, когда мы идем дальше вправо. Но перед этим позвольте мне определить, с чего я начал эту статью, а именно с константы Фейгенбаума.

Как показано на приведенной выше диаграмме, если я возьму любые две последовательные длины каждой бифуркации графа и найду их отношение, вы получите постоянное иррациональное значение 4,6692016…….

Это постоянная Фейгенбаума. Говорят, что длина бифуркации равна 4,6692016……. раз меньше предыдущего. Фейгенбаум обнаружил, что если вы возьмете любое квадратное уравнение, такое как уравнение населения, вы можете создать график удвоения периода, просто поменяв параметры. И, взяв отношение длин двух последовательных бифуркаций, вы получите одно и то же число для любого квадратного уравнения.

Ниже показана судьба графика примерно после λ = 3,59.

График становится сумасшедшим, вернее, хаотичным. Хотя этот граф был открыт еще до того, как была известна теория хаоса. Таким образом, эта константа и график часто использовались во время изучения. Хаос чувствителен к начальным условиям, что приводит к массовым изменениям, что объясняется эффектом бабочки. Точно так же и здесь очень маленькое изменение λ может привести к сумасшедшим изменениям графика. Наряду с эффектом бабочки это было началом теории хаоса.