Arasındaki fark $\forall n\in\mathbb N$ ve $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Aradaki fark hakkında gerçekten kafam karıştı $\forall n\in\mathbb N$ ve $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Analizi Anlamakta, Alıştırma 1.2.13'ten alıntı yapıyorum. o
Sonuç için indüksiyona başvurmak cazip geliyor $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
ancak tümevarım burada geçerli değildir. Tümevarım, belirli bir ifadenin her değer için geçerli olduğunu kanıtlamak için kullanılır.$n\in\mathbb N$, ancak bu sonsuz durumun geçerliliğini ima etmez.
Bu konuda bir süredir biraz araştırma yaptım ve sonunda şunu belirtebileceğimi anladım. $n\in\mathbb N$ anlamına gelir $n$sonludur. Dolayısıyla sonsuz durumda uygulanamaz.
Evet, mantığını anlıyorum. Ama eğer$\forall n \in\mathbb N$ işe yaramazsa, sonsuz durumu kanıtlamak için ne işe yarar?
Fark konusunda kendimi rahat hissettiğim gibi. Karışıklık yine kitap tarafından gündeme getiriliyor ve mümkün olduğunca kısa olması umuduyla aşağıdakilerden alıntı yapıyorum:
Yuvalanmış aralık özelliği, her birinin $I_n$ içerir $I_{n+1}$. Bu şekilde tanımlanan iç içe geçmiş kapalı aralıklar dizisidir.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
Kanıt, herkese ait olan tek bir x gerçek sayısını bulmaya odaklanır. $I_n$ ve bunun supA olduğunu savunuyor.
Kanıt olarak, dedi $x\in I_n$her seçim için $n\in\mathbb N$. Bu nedenle$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ ve kavşak boş değil.
Kaçırılan ayrıntılara ihtiyaç olup olmadığını bana bildirin. Ancak, benim açımdan tam olarak şu:
- Neden sonsuz de morgan kuralında $\forall n\in\mathbb N$ için geçerli değil $\infty$
- Neden iç içe geçmiş aralık özelliğinde $\forall n\in\mathbb N$ için geçerlidir $\infty$
Yanıtlar
$\forall n\in\Bbb N$ asla geçerli değil$\infty$, Çünkü $\infty$ bir unsuru değil $\Bbb N$. İç içe geçmiş aralık teoreminde hiçbir $I_\infty$. Bildiğimiz şey bu$x\in I_n$ her biri için $n\in\Bbb N$ve dolayısıyla tanım gereği $n$ setlerin kesişme noktasında $I_n$. Buna kavşak diyebilirsin$I_\infty$ Bunu yapmak isteseydiniz, ancak bu, kümeleri içeren tümevarım argümanından tamamen bağımsız olarak keyfi bir seçim olurdu. $I_n$; ona George diyebilirsin. (Yıllar önce bir arkadaşım George adını verdiği bir matematiksel nesne hakkında bir makale yayınladı.)
De Morgan yasasına gelince, biri bunu keyfi kümeler için basitçe önerilen kimliğin her iki tarafının diğerinin bir alt kümesi olduğunu göstererek kanıtlayabilir. Bu, burada ve bu yanıtta (ve muhtemelen MSE'deki diğer yerlerde) keyfi dizinlenmiş kümeler için yapılır . İspat, sonlu küme aileleri için teoreme bağlı değildir ve herhangi bir türden tümevarımı içermez.
De Morgan Kuralı sonsuz setler için işe yarıyor. Ancak bu, De Morgan Kuralı'nın sonlu versiyonunu indükleyerek kanıtlanamaz, çünkü tümevarım, bir ifadenin keyfi olarak büyük bir değer için doğru olduğunu kanıtlamak için bir araçtır.$n$ (fakat $n$ hala sonludur).
Sayılabilecek şekilde sonsuz sayıda kümenin kesişimine gelince, bu tanımdan çıkar. Biz söylüyoruz$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ hepsi için $n \in \mathbb N$.