Basit uzantının ara alanları $\mathbb{C}(x)$

Dec 26 2020

İzin Vermek $\mathbb{C}(x)$ rasyonel işlevlerin alanı olmak $\mathbb{C}$. Elbette$\mathbb{C}(x)$ bir alan uzantısıdır $\mathbb{C}$. Şimdi sorum şu: arasında ara alanlar var mı?$\mathbb{C}$ ve $\mathbb{C}(x)$? Öyleyse boyutları hakkında ne söyleyebiliriz? Her zaman sonsuz mudur?

Yanıtlar

1 JyrkiLahtonen Dec 26 2020 at 22:44

Yorumların bir özeti (ayrı olarak gönderilmesi gereken yeniden sunumlar hariç!) Aşağıda $K$ tamamen ikisinin arasında keyfi bir ara ortam alanı anlamına gelir, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

  1. Çünkü $\Bbb{C}$cebirsel olarak kapalı, cebberaik uzantıları yok. Bu nedenle sonlu uzantılar yoktur. Bu nedenle$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
  2. Öte yandan, eğer $u=f(x)/g(x)$ keyfi bir unsurdur $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, sonra $x$ polinomun sıfırdır $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Bu nedenle $x$ cebirsel bitti $K$. Bu nedenle$[K(x):K]<\infty$. Fakat,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, böylece sonuca varabiliriz $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Daha fazla bir şey söylenemez, bunu kolayca gördüğümüz gibi$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ her pozitif tam sayı için $n$, bu nedenle uzatma derecesi keyfi olarak yüksek olabilir.
  3. By Lüroth teoremi her ara alan$K$ aslında basit bir transandantal uzantısıdır $\Bbb{C}$. Diğer bir deyişle,$K$ dır-dir $\Bbb{C}$izomorfik $\Bbb{C}(x)$.