Beklenen eksikliğe karşı varyansın en aza indirilmesi: farkın belirgin olduğu dağılımlar
Finans alanında portföy teorisinde, bir dizi $n$Varlıklar arasından seçim yapılıyorsa, beklenen getiriyi en üst düzeye çıkarmak ve bazı risk ölçütlerini en aza indirmek için genellikle portföy ağırlıkları seçilir, örneğin varyans veya beklenen eksiklik *. Varlık getirilerinin rastgele değişkenler olduğunu düşünürsek, yüksek beklenen değere ve düşük risk ölçüsüne sahip rastgele değişkenlerin, birliği toplayan ağırlıklara sahip doğrusal bir kombinasyonunu arıyoruz. Sadece iki varlığı ele alalım,$n=2$ve tüm varlıkların beklenen getirilerinin aynı sabite, örneğin sıfıra eşit olduğunu varsayalım.
Sorular:
- Varyansı en aza indirmeye ancak beklenen büyük açıkları korumaya veya tam tersi olan bazı iki değişkenli dağılımlar nelerdir?
- Beklenen eksikliği en aza indirirken varyansı en aza indirirken önemli ölçüde farklı optimal ağırlıklar üreten bazı iki değişkenli dağılımlar nelerdir?
- Bu tür dağıtımların özelliği nedir? (Finanstan gerçekçi örnekler takdir edilecektir.)
*$q\%$ beklenen eksiklik (diğer bir deyişle beklenen kuyruk kaybı veya risk altındaki koşullu değer), rastgele değişkenin sol kuyruğunun ortalamasıdır, kuyruk $q\%$ kuantil seviyesi.
Konu hem finans hem de istatistikleri kapsıyor. Soru daha önce Çapraz Doğrulamada yayınlanmış ancak sıfır yanıt almıştır. Şimdi burada yeniden yayınlıyorum. Çapraz gönderi tavsiye edilmemekle birlikte, sonunda bir yanıt alması ihtimaline karşı gönderiyi Çapraz Doğrulamada tutacağım.
Yanıtlar
Bu tür hesaplamalar, iki değişkenli durumda bile hızla dağınık hale gelir ve en iyi şekilde simülasyonlarla ele alınır. Bununla birlikte, Tail riskinin kullanıldığı optimizasyon ile Varyans tabanlı risk ölçümleri arasındaki temel fark hakkındaki temel soru, yalnızca toplam portföy getirisini kullanan basit bir hesaplama ile gösterilebilir.
Basitçe söylemek gerekirse, felsefi ve pratik fark, Tail risk ölçümlerinin yalnızca kuyruklara odaklanırken, Varyans tüm dağıtımdan gelen bilgileri içerir. Diğer tüm farklılıklar bu temel ayrımdan kaynaklanır.
Kuyruk / Kuyruksuz Ayrıştırma
Tek değişkenli durumu analiz etmenin tamamen yeterli olduğunu düşünüyorum. İzin Vermek$S$ toplam portföy getirisini gösterir (örn. $S = wX + (1-w)Y$ iki varlık için $X$ ve $Y$ ağırlık ile $0\leq w \leq 1$).
Kuyruk olasılığı ile $0<q < 1$ ve kuyruk miktarı $s_q$ (yani $\mathbb{P}[S<s_q] = q$) kuyruğu ayırt edebiliriz $\{ S \leq s_q\}$ ve kuyruksuz $\{ S > s_q\}$ bölgeleri $S$ Bernoulli Değişkenini kullanarak $Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. İzin Vermek$F_S$ dağıtmak $S$ ve $\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ üst veya son olmayan koşullu dağılım ve $\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$alt, kuyruk koşullu dağılım olabilir. Bu dağılımlar, daha düşük, daha yüksek kesilmiş dağılımlardır . Dahası, ihtiyacımız var$\hat{e}$ ve $\check{e}$ beklentiler ve varyanslar $\hat{v}^2$ ve $\check{v}^2$ nın-nin $\hat{F}$ ve $\check{F}$.
Basit olması için varsayalım ki $S$sürekli yoğunluğa sahiptir. Sonra$-\check{e}$ beklenen eksiklik $S$. By toplam beklenti hukuk kullanılarak$\mathbb{E}[S]=0$ biri şunu görüyor: $$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ veya $$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$
Aynı şekilde, sadece şimdi toplam varyans yasasını kullanarak, Varyans'ı ayırabiliriz.$S$: $$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$ Üçüncü terim için şu gerçeği kullanır: $Z$ Bernoulli ile mi $\mathbb{P}[Z=1]=q$ ve ilişki $(\ref{1})$ iki olası değer arasında $\mathbb{E}[S\mid Z].$
Yorumlama
Göre $(\ref{2})$ varyans, iki "dahili" varyansa, yani kuyruk ve kuyruk olmayan varyans ve kuyruklu ve kuyruklu olmayan arasındaki ortalama farktan kaynaklanan "arada" varyansa ayrıştırılabilir.
Yani evet gerçekten, beklenen büyük bir eksiklik, varyansı tetikleyecektir. Bu anlamda varyans optimizasyonu ve beklenen eksiklik benzer yönlere sahip bir tane sağlayacaktır. Ancak varyans, beklenen eksiklik optimizasyonu tarafından tamamen göz ardı edilen ek terimler içerir. Ve tartışmalı ve pratikte sık sık$\check{v}^2$ ile yakından ilgili olacak $\check{e}$ mevcut varlık dağılımlarının kuyruklarına göre, $\hat{v}^2$ genellikle oldukça ayrıdır ve biraz baskındır, özellikle $q$çok küçük. Varyans optimizasyonu altında, kuyruk dışı oynaklıktan kurtulmak için biraz daha fazla kuyruk riski almak çok mantıklıdır.
Bu miyop davranış, aynı zamanda, beklenen saf eksiklik (veya risk altındaki değer) optimizasyonunun pratikte nadir görülmesinin de sebebidir. Düzenli olarak zarara uğrarsanız, 100 yılda 1 düzeyinde iyi yönetilmek teselli değildir.