Bir köşegen matrisin sözde tersi

Question

Let matrix $A \in \Bbb R^{n \times n}$ Sahip olmak $k$ çapraz elemanlar, nerede $k < n$ve elemanların geri kalanı sıfırdır. Sözde tersini bulmaya çalışıyorum$A + \lambda I$ ne zaman $\lambda$ sıfıra yaklaşır.

Sonra $\frac{1}{a_i + \lambda}$ için köşegen unsurlar olurdu $i$ 1'den $k$ sözde tersin ve $\frac{1}{\lambda}$diyagonal elemanların geri kalanı olacaktır. Koyarsam$\lambda$ sıfıra eşitse, sözde ters, aşağıdaki unsurları içeren bir matris olacaktır: $A$matris tersine çevrildi, ancak sonsuza giden elemanlar olacaktı. Ancak bu kulağa doğru gelmiyor. Bu mantıkta yanlış olan ne?

Answer 1

Sorun, sözde tersin tam olarak gösterdiğiniz gibi matris uzayında sürekli bir fonksiyon olmamasıdır. 1d matrisi düşünün$(x)$ için $x\in\mathbb R$. O zaman sözde ters harita$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Bu, sıfırda bir sürekli değildir ve bu nedenle, bir elemanın sınırını sıfıra kadar korumasını beklemeyiz. Aynısı, örneğiniz için çekirdeğini kısıtladığımızda da olur.$A$.