Bir matrisin 2-normu, 1-norm ve Sonsuzluk-normunun maksimumu ile mi sınırlıdır?

Question

Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001'in "Bir Matrisin Logaritmasının Belirlenmiş Doğruluğa Yaklaşımı" nda algoritmayı uyguluyorum.

Bu algoritmada, gerçek değerli bir kare matrisin 2-normunu hesaplamaktan kaçınmak isterdim $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Sayısal deneyler bana aşağıdaki üst sınırın geçerli olduğunu gösteriyor

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

Bu eşitsizliğin her zaman geçerli olup olmadığını doğrulayan var mı? Teşekkür ederim ve mutlu yıllar!

Bir kullanıcı, Cauchy-Schwarz'ın

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

bu, bazı durumlarda sınırı geliştirir, ancak her zaman değil. Bu yüzden, umarım ilk sorum hala önemlidir. Varsa, önerilen eşitsizliğe karşı bir örnek de takdir edilecektir.

Answer 1

Aslında:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

takip eder

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

bu - Wikipedia'ya göre - Hölder'in eşitsizliğinin özel bir durumudur.