Bir simetrik matrisin minimum özdeğerini matris normları aracılığıyla bağlayın

Question

Yazarların aşağıdaki biçimde bir eşitsizliği kanıtladığı bir makale okuyorum:

$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$

Buraya $H$ ve $H'$ simetrik gerçek matrislerdir ($H'$ tüm pozitif özdeğerlere sahiptir, eğer önemliyse) ve normlar $L_2$sırasıyla matris normu ve Frobenius normu. Hiçbir gerekçe olmaksızın yazarlar şunları iddia ediyor:

$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$

nerede $\lambda_\text{min}$ bir matrisin minimum özdeğeridir.

Bunu nasıl gerekçelendireceğimi göremiyorum veya (2) 'nin (1)' den çıkarılması bile amaçlansa bile. İşte kağıt - Lemma 3.2 ispatının sonu, sayfa 6.

Answer 1

Bu cevap dayanmaktadır bu bir . Aşağıda keyfi bir iç çarpımla çalışacağız ve bir matrisin normunu aldığımızda, bu , kullandığımız vektör normuyla ilişkili operatör normu anlamına gelir . Sahibiz:

Teorem. Eğer$A$ ve $B$ gerçek simetriktir, o zaman:

$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$

Bunu kanıtlamak için anahtar ifadedir $x^T Mx$, nerede $M$ simetrik bir matristir ve $x$birim normuna sahiptir. Bu ifade için iki kelimeye ihtiyacımız var.

Lemma 1. için herhangi bir matris$M$ ve herhangi bir birim normu $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Kanıt. Cauchy-Schwartz'ın basit uygulaması ve bir operatör normunun tanımı:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$

Lemma 2. Herhangi bir simetrik matris için$M$ ve herhangi bir birim normu $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ ve sınırlara ulaşılır $x$ birim küreye göre değişir.

Kanıt. İzin Vermek$M=P^TDP$ nerede $P$ ortogonaldir ve $D$köşegendir. Sonra$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Gibi $x$ birim küreye göre değişir, $Px$ aynı zamanda tüm birim küre üzerinde de değişir, bu nedenle yukarıdaki ikinci ifadenin aralığı basitçe $y^TDy$ gibi $y$birim küre üzerinde değişir. Yeniden düzenleme eşitsizliği ve diğer bazı basit argümanlarla, minimuma ulaşıldığında$y$ ile ilişkili bir özvektördür $\lambda_\text{min}(M)$ ve maksimum ne zaman $y$ ile ilişkili bir özvektördür $\lambda_\text{max}(M)$.

Sonunda teoremi kanıtlayabiliriz. Herhangi bir birim norm için$x$, sahibiz

$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$

Lemma 1'i ikinci terime ve Lemma 2'yi ilk terime uygulayarak, sol tarafın minimum değeri en azdır. $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Lemma 2'ye göre, sol tarafın minimumunun eşit olduğunu biliyoruz$\lambda_\text{min} (A)$. Benzer bir argüman teoremdeki diğer eşitsizliği gösterir.