Bir tanımın tanımı nedir?
Matematiksel mantık veya diğer biçimsel sistemlerde, bir tanımın resmi olarak tanımı nedir?
"A" "B" olarak tanımlanmışsa, "A" nın tanımı nasıldır? Hem "A" hem de "B" yi mi (ör. "A: = B") yoksa sadece "B" yi mi içeriyor?
Örneğin, ilgili p126 olarak § 3.. Tanımlar tarafından Uzantıları içinde VIII Sözdizimsel Yorumların ve Normal Formlar EBBINGHAUS' in Matematiksel Mantık , varsayalım$S$ (mantıksal olmayan) bir sembol kümesidir,
3.1 Tanım. İzin Vermek$\Phi$ bir dizi olmak $S$cümle.
(a) Varsayalım $P \notin S$ bir $n$-ary ilişki sembolü ve $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ bir $S$-formül. O zaman diyoruz ki$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ bir $S$-tanımı $P$ içinde $\Phi$.
Hangisini bir olarak arayayım $S$-tanımı $P$ içinde $\Phi$:
$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $?
Tanımlamak döngüsel mi $P$ kendi açısından?
Bir $𝑆$-tanımı $𝑃$ içinde $Φ$ bir sembol yorumu $P$ olarak $S'$cümle? ( sözdizimsel bir yorumunun parçası olarak$S'$ içinde $S'$ kendisi?)
Görünüşü $P$ kendi tanımıyla $∀ 𝑣_0,....∀ 𝑣_{𝑛−1}(𝑃𝑣_0...v_{𝑛−1}↔𝜙_𝑃(𝑣_0,...,𝑣_{𝑛−1}))$görünüşüyle aynı anlamda $A$ içinde $𝐴:=𝐵$?
$\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $? (Sanırım öyle$P$ olarak tanımlanır $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ içinde $\Phi$.)
$\phi_P$? (Bunu ikinciyle karşılaştırın:$P$ kendisi değişkenler içermez)
Bkz. Bu tanım bir sembolü nasıl tanımlar?$P$ sembol kümesinin dışında $S$ olarak $S$cümle?
Teşekkürler.
Yanıtlar
Bir imzamız var $S$ ve onu genişletiyoruz $S':=S\cup\{P\}$.
$S$-tanımı $P$ ... $S'$-formül $$\forall v_0\dots v_{n-1}: Pv_0\dots v_{n-1}\leftrightarrow \phi_P(v_0,\dots,v_{n-1})$$verilen için ekstra bir aksiyom olarak resmen ele alınabilir$S$-çalıştığımız teori, böylece bir eşdeğer üretiyor $S'$- teori, sembolün $P$formülün kısaltması olarak kullanılabilir$\phi_P$.
Örneğin, aşağıdaki formül, olağan sıralama ilişkisinin tanımıdır. $\le$ dilde negatif olmayan tamsayılar $(0,+)$: $$\forall x,y:\ x\le y\,\leftrightarrow\,\exists z: x+z=y$$
Aşağıda, önce süreci daha sezgisel bir şekilde tanımlamaya çalışacağım, ardından döngüsellikle ilgili endişelerinizi ele alacağım. İkinci noktanın aslında daha yararlı olabileceğinden şüpheleniyorum, bu yüzden önce ikinci bölümü okumaktan çekinmeyin - ve özellikle orada vurgulanan sloganın oldukça yardımcı olacağını düşünüyorum.
(Re: son yorumunuz, tanım $(1)$- size yeni sembolün halihazırda sahip olduğunuz ve anladığınız eski semboller açısından nasıl davrandığını söyleyen şey .)
Buradaki anahtar kelime, " tanımlara göre genişletme " dir.
Sezgisel olarak, aşağıdaki süreci aklımızda tutuyoruz:
Bir imza ile başlamak $S$ ve biraz set $\Phi$ nın-nin $S$-cümleler, verimsizliklerden biraz rahatsız oluyoruz : kullanmaktan bahsedebileceğimiz bazı şeyler var$S$-Formüller, ancak yalnızca dolaylı bir şekilde. Örneğin küme teorisinin dili hakkında düşünün,$\{\in\}$: "$x$ Kartezyen ürünü $y$ ve $z$"bu dilde, ancak yalnızca can sıkıcı derecede uzun formüller aracılığıyla. (Önceki örneği ele almak, örneğin Kuratowski çiftlerini kullanmak iyi bir alıştırma.)
Gerçekten karmaşık formülümüz göz önüne alındığında $\varphi(x_0,...,x_{n-1})$, temelde aynı olan yeni bir teori geliştirmek istiyoruz $\Phi$ bunun dışında ek olarak bir "kısaltması" olması dışında $\varphi$.
Birincisi, bu, dilimizi büyütmek istediğimiz anlamına gelir: $S$ ile çalışmak istiyoruz $S\cup\{R\}$ bazı $n$-ary ilişki sembolü $R\not\in S$ kısaltma olarak hizmet etmeyi planladığımız $\varphi$.
Şimdi bu geniş dilde bir teori tanımlamalıyız. Bu teori, sahip olduğumuz şeyi kapsamalıdır (yani,$\Phi$), davranışını doğru şekilde dikte etmelidir $R$ (yani bunun bir kısaltması olduğunu söyleyin. $\varphi$) ve başka hiçbir şey yapmamalıdır. Bu bizi yeni teoriyi düşünmeye götürür$$\Phi':=\Phi\cup\{\forall x_0,...,x_{n-1}(R(x_0,...,x_{n-1})\leftrightarrow \varphi(x_0,...,x_{n-1})\}.$$
Geçiş $S,\Phi$, ve $\varphi$ -e $S\cup\{R\}$ ve $\Phi'$tanımlara göre bir genişletmedir . Burada ciddi bir fazlalığımız var: tam anlamıyla,$\Phi'$ gerçekten daha iyi değil $\Phi$. (Resmen,$\Phi'$a, tutucu uzantısı arasında$\Phi$ mümkün olan en güçlü anlamda: her model $\Phi$ bir model için tam olarak bir genişletmeye sahiptir $\Phi'$.) Bu şaşırtıcı değil. Biz zaten biliyorduk biz yoluyla umursamaz şeyi ifade edebileceği$\varphi$, biz sadece bunu daha hızlı yapabilmek istedik.
Bu arada, bunun herhangi bir teorinin doğal "maksimum verimli" versiyonunu önerdiğine dikkat edin: her formül için yeni semboller eklemeniz yeterli ! Buna Morleyization denir ve bazen faydalıdır (genellikle aptalca olsa da ).
Tamam, şimdi endişelendiğiniz döngüsellik ne olacak?
Önce şunu unutmayın "$R$"kendisi sadece bir semboldür. Eklediğimiz yeni cümle, gerçekte $R$, daha ziyade anlamının bir tanımı $R$veya davranışını düzenleyen bir kuralı tercih ederseniz$R$.
Daha ciddisi, döngüsellik FOL'de asla bir sorun değildir! Temel fikir şudur ki, bence programlamadan getirilebilecek sezgilerden önemli bir sapma:
Birinci dereceden cümleler bir şeyler yaratmaz, şeyleri tanımlar .
Özellikle, bir dizi birinci dereceden cümleler $\Phi$Hakkında doğru bir tanım olduğu belirli bir yapı sınıfını ortaya çıkarır. Örneğin, muhtemelen tehlikeli görünen kümeler$$\{\forall x(P(x)\leftrightarrow P(x))\}$$ ve $$\{\forall x(Q(x)\leftrightarrow \neg Q(x))\}$$tamamen daire içermez; sırayla sadece anlamsız (= her yapıya sahip olma) ve çelişkili (= yapı yok).