Bir yıkıcı (icat edilmiş tanım) serisi hakkındaki temel gerçekleri kanıtlayın veya çürütün

Jan 01 2021

Understanding AnalysisStephen Abbot'tan gerçek analizi kendi kendime öğreniyorum . Bir subvergent (icat edilen tanım) serisi hakkında aşağıdaki iddialar için doğru sonuçları çıkarmış mıyım diye sormak istiyorum .

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Tanım . Diyelim ki , kısmi toplamlar dizisi yakınsayan bir alt dizi içeriyorsa , bir serinin altüst olduğunu varsayalım .

Bu (icat edilmiş) tanımı bir an için düşünün ve sonra aşağıdaki ifadelerden hangilerinin subvergent serileri hakkında geçerli önermeler olduğuna karar verin:

(a) Eğer $(a_n)$ sınırlıdır, o zaman $\sum a_n$ altüst eder.

(b) Tüm yakınsak seriler subverenttir.

(c) Eğer $\sum \absval{a_n}$ altüst eder, sonra $\sum a_n$ aynı zamanda altüst eder.

(d) Eğer $\sum a_n$ altüst eder, sonra $(a_n)$ yakınsak bir alt diziye sahiptir.

Kanıt. (a) Bu öneri yanlıştır. Bir karşı örnek olarak, diziyi düşünün$(a_n):=1$. Kısmi toplamların dizisi$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Alt dizisi yok$(s_n)$birleşir. Yani,$\sum {a_n}$ yıkıcı değildir.

(b) Seri yakınsak olduğundan, kısmi toplamların dizisi yakınsar ve bu nedenle kısmi toplamların herhangi bir alt dizisi de aynı limite yakınsar. Bu nedenle, tüm yakınsak seriler subverenttir.

(c) Bu önerinin doğru olduğunu düşünüyorum. İzin Vermek$(s_n)$ mutlak değerlerin kısmi toplamlarının dizisi ve $(t_n)$ serinin kısmi toplamlarının dizisi $\sum a_n$.

Subvergence tanımına göre, bazı alt diziler vardır. $(s_{f(n)})$ nın-nin $(s_n)$yakınsayan. Genelliği kaybetmeden varsayalım$(s_{2n})$böyle bir yakınsak alt dizidir. Sonra bir var$N \in \mathbf{N}$ öyle ki, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}

hepsi için $n > m \ge N$.

Bu gerçeği kullanarak, alt dizi için güzel bir eşitsizlik yazabiliriz. $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}

hepsi için $n \ge N$.

Yukarıdakiler tüm alt diziler için geçerli olduğu gibi $(s_{f(n)})$ nerede $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ bir bijection, $\sum a_n$ yıkıcıdır.

(d) Bunun için bir karşı örnek düşünemiyorum.

Yanıtlar

2 math Jan 01 2021 at 21:28
  • A) kanıtınız tamam
  • B) için de tamam
  • C) için şunu yazardım:

Haydi $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ ve $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ hepsi için $n$.

Sonra hepsi için $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ ve $a_n = a_n^+ - a_n^-$.

Dan beri $\sum |a_n|$ yıkıcı ve $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ ve $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$bizde var $\sum a_n^+$ ve $\sum a_n^-$ subverent, yani toplam $\sum a_n$ yıkıcıdır.

(Gerçek şu ki eğer $\sum u_n$ ile birleşir $(u_n)$ pozitif, o zaman herkes için $(v_n)$ öyle olumlu $\forall n,v_n\leqslant u_n$ altüst etmek bir kanıtı hak eder, ama o kadar da zor değil)

  • D) için tanımlarım $(a_n)$ öyle ki için $n\geqslant 0$,

$a_{2n} = -n$ ve $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.

Sonra $\sum a_n$ o zamandan beri birleşiyor (not edersek $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ ne zaman birleşir $n\rightarrow +\infty$.

Ama açıkça birleşen bir alt dizimiz yok.