Borel yoğunluğu 0 olarak ayarlandı
Lebesgue yoğunluk teoremi, eğer $E$ bir Lebesgue ölçülebilir kümesidir, ardından yoğunluğu $E$ hemen hemen her unsurunda $E$ 1'dir ve yoğunluğu $E$ hemen hemen her elementte olmayan $E$ 0'dır.
Ancak, her biri için doğru mu? $t$ kesinlikle 0 ile 1 arasında, bir Borel seti var $E$ yoğunluğu olan $t$ 0'da?
Rastgele bir değer için böyle bir kümeyi nasıl oluşturacağımı $t$. Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır.
Yanıtlar
Evet. Boyut olarak$\geq 2$ bu önemsiz, bu yüzden gerçek çizgiye baktığımızı varsayıyorum.
Verilen bir $n>0$ ve $\alpha\in [0,1]$, koymak $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ ve $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.
Koymak $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Sonra yoğunluğu$U_{n,\alpha}$ -de $0$ tam olarak $\alpha$. Bunu görmek için yaz$m_r$ için $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ ve şunlara dikkat edin:
- Eğer $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, sonra $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
- Eğer $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, sonra $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
- $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
- $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.
İpucu: Bırak $I_n=(1/(n+1),1/n).$ İzin Vermek $L_n$ uzunluğu olmak $I_n.$ Dışında $I_n$ bir alt aralık seçiyoruz
$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$
$J_n$ bir "$t$-bite " $I_n.$ Ayarlamak $E=\cup J_n.$ Bunu doğru düşünüyorsam, sahip olacağız
$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$
Bir dizi sayı düşünün $r_n \searrow 0$ öyle ki $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. İzin Vermek$\theta$ haritayı koruyan bir önlem olmak $(0,r_1]$ -e $\mathbb R^2$ bu alır $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ -e $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. O zaman izin ver$A$ başlangıç noktasında ortalanmış bir 'pasta parçası' olmak $\mathbb R^2$açılı $\alpha$köşede. Sonra$\theta^{-1}(A)$ yoğunluklu bir set olacak $\alpha/(4\pi)$ -de $0$.
Bu yoğunluk verecek $0 \le t \le \frac12$. Almak$\frac12 < t \le 1$, basitçe ekle $(-\infty,0]$.