Bu tekniğin geçersiz olmasının bir nedeni var mı?

Jan 02 2021

Nedir $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Bu sınırı değerlendirmenin basit bir yolu,$0$ için $x$ elde etmek için payda

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $

dan beri $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ aynı miktardan çıkarılan bir miktar 0 olduğu için bu teknik, sıfıra bölme problemini ortadan kaldırırken, $\cos(0)$ bilinen.

Yanıtlar

1 YvesDaoust Jan 02 2021 at 00:41

Hayır, bunu iddia edemezsin $x=0$ payda iken $x\ne0$ paydada!


Yönteminizi kullanarak, bu sınırı değerlendirmenin basit bir yolu, $0$ için $x$ paydada elde etmek için $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ pay sıfırdan farklıdır.

5 Bernard Jan 02 2021 at 00:48

Bir karşı örnek :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ Aslında $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, yani $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$

1 imranfat Jan 02 2021 at 00:34

@ChristinaDaniel Tamam, işte bir karşı örnek: İfadeyi düşünün $\frac{\sin 2x}{x}$ ve izin ver $x$ sıfıra git: Bu sınırın cevabı $2$. Şimdi ifadeyi düşünün$\frac{\sin 2x-0}{x}$ için $x$sıfıra gidiyor. Bu sınırın cevabı hala$2$. Fakat$\sin0=0$ şimdi ifadeyi düşünebiliriz $\frac{\sin 2x-x}{x}$yine ile $x$sıfıra gidiyor. Ama şimdi bu sınır$1$. Yani "kısmi" bir değişiklik yaptığınızda, cevap değişir. Başka bir deyişle, yerine koyduğunuzda$x$bunu her biri için yapmalısın $x$ ifadede.

1 DavidDiaz Jan 02 2021 at 01:03

İzin Vermek $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Bulmak istiyoruz$\lim_{x\to e}f(x)$.

Önerilen yöntemi kullanmak yanlış cevabı döndürecektir.

fleablood Jan 02 2021 at 00:33

Geçersiz.

Bir ifadenin bir bölümünde bir değişkeni bir sabitle değiştiremezsiniz, ancak onu başka bir parçada değişken olarak bırakabilirsiniz.

Bir değişkeni bir sabitle değiştirerek bir limiti tahmin etmek istiyorsanız, onu her yerde değiştirmelisiniz. Eğer bunu yaparsan$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ ve bu bize hiç yardımcı olmuyor.

Varsaymalıyız $x \ne 0$ ve eğer değiştirirsek, şununla değiştirmeliyiz: $x = h\ne 0$ ve anlıyoruz $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$ve biz olamaz yerine$h$ ile $0$ üstte ve altta değil çünkü $h$ ISN "T $0$. Ve ne olursa olsun$x$ payda, $x$ paydada aynı şey olmalıdır.

.....

Hatanın nedeni, üst kısımdaki biraz dolandırıcılıktır. $x\approx 0$ anlamına geliyor $\cos x \approx \cos 0$pek etkilemeyecek. Ama bu yanlış. İçinde fudging alt bir hale getirir büyük bir fark.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. Bu hayır-hayır.

Tamamen hayır-hayır.

Ve tamamen geçersiz.