Çözme $x^3-3x^2+4x-12=0$ Faktoring Olmadan (Cardano Yöntemi)
Soru: çözmek $$x^3-3x^2+4x-12=0$$ faktoring kullanmadan (Cardano yöntemi?)
Bu yüzden önce denklemi bastırmalıyım, bu yüzden ikame yapmalıyım $x=z+1$. Bunun ikame olduğunu biliyoruz çünkü formda olması gerekiyor$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Bu bize verir
$$z^3+z-10=0$$
Cardano'nun yöntemiyle bunu biliyoruz $p=1$ ve $q=-10$. Böylece bizde var
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Bu sistemi çözmek (inanıyorum) $a$ verir
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
ve bu yüzden
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
Bunu elimden geldiğince azaltmaya çalıştım, ancak çözümlerden kimseye ulaşamıyorum.
Orijinal denklemi çarpanlarına ayıracak olsaydım, şunu almalıyım
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Peki nerede hatamı yapıyorum?
Yanıtlar
Hesaplamalarınız doğru, ancak Cardano'nun yöntemini tamamlamak gerekiyor. Hesapladıktan sonra$a$ ve $b$, çökmüş kübikin kökleri aşağıdaki gibidir:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Senin durumundan beri $a=1+2/\sqrt{3}$ ve $b=1-2/\sqrt{3}$ (bu değerleri elde etmek için denest etme prosedürü için aşağıya bakın), formüller
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Gibi $x=z+1$, var
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
DÜZENLEME: Yorumlarda doğru bir şekilde belirtildiği gibi, Cardano'nun yöntemini uygularken önemli bir konu, bazı durumlarda bazı kübik kökleri yok etme ihtiyacının olmasıdır. Bu bazen oldukça zor olabilir. Yorumlardan birinde sağlanan bağlantılarda daha önce bazı yöntemler bildirilmiştir. Bazen formun kökeni için iyi çalışan olası bir yaklaşım öneririm.$J+K\sqrt{n}$. Yöntemler şu adımları içerir:
küp kökünü formda ayarla $\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, ile $J$ ve $K$ tamsayılar;
varsayalım ki köklü $A=J\pm K\sqrt{n}$ olarak ifade edilebilir $(j\pm k\sqrt{n})^3$, ile $j$ ve $k$ rasyonel sayılar;
genişledikten sonra $(j\pm k\sqrt{n})^3$ ve terimlerini toplamları eşit olan iki gruba ayırmak $J$ ve $K\sqrt{n}$, belirlemek için ortaya çıkan denklemleri kullanın $j/k$. Rasyonel kök teoremini kullanarak yeni bir kübik denklemin rasyonel köklerini araştırmayı gerektirdiği için bu daha uzun adımdır, bu bazen zor olabilir;
son olarak, değerlerini belirleyin $j$ ve $k$.
Bu yöntemi daha iyi açıklamak için, özel durum için deneyelim $\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$ (aynı yöntem, radikandın olduğu durum için kullanılabilir. $5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). İlk olarak, kökleri ayarlamalıyız ve böylece$J$ ve $K$ tamsayıdır:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Şimdi varsayalım $A=(j+k\sqrt{3})^3$. Bu nedenle
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
böylece yazabiliriz
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Bunu not et $j$ ve $k$ikisi de pozitif olmalı. Yukarıdaki iki denklemden elimizde
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Şimdi belirlemeye çalışmalıyız $j/k$. Her iki üyeyi de$k^3$ ve tüm şartları LHS'ye taşıyarak,
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Ayar $x=j/k$ ve katsayıları basitleştirerek,
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Rasyonel kök teoremini kullanarak, rasyonel bir kök arayabiliriz $p/q$ son denklem için, burada tam sayı $p$ böler $135=3^3\cdot 5$ ve tam sayı $q$ böler $26=2\cdot 13$. Gerçek bir kök arayışını hızlandırmak için,$x=1$ ve $x=2$ LHS verir $-10$ ve $1$sırasıyla, böylece bir gerçek kökün değeri arasında olmak zorunda $1$ ve $2$. Birkaç denemeden sonra kolayca$x=3/2$. Denklem daha sonra şu şekilde yeniden yazılabilir:
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
diğer iki kökün gerçek olmadığını doğrudan anlıyoruz.
Dan beri $x=j/k=3/2$sonunda belirleyebiliriz $j$ ve $k$ ikame yaparak $k=2j/3$ilk denklemlerde. Örneğin, denklemde ikame etmek$(j^2+9k^2)=135$, sahibiz
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
ve bunu hatırlatmak $j$ ve $k$ olumlu,
$$j=3$$
$$k=2$$
Şimdi şu sonuca varabiliriz
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
böylece ilk kübik kök
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Yine, bu yöntemin sadece bazı durumlarda (rasyonel olduğunda bile) işe yaradığı belirtilmelidir. $j$ ve $k$ en önemli sınırlayıcı adım rasyonel kökün araştırılmasıdır. $x$, daha önce de belirtildiği gibi çok zor olabilir).
Geri ikame dışında $x=z+1$çözüm sürecini tamamlamak için yanılıyorsunuz. Casus irreducibilis yaygın üç gerçek kökleri ile kübik denklemler için açıklanan, ancak bir rasyonel kök (ve bu durumda her üç kökleri olmak zorunda değildir) ne zaman benzer bir sorun oluşur. Aslında, radikal ifadenizi geri almak için basitleştiremezsiniz.$z=2$analitik olarak; rasyonel kökü önceden tahmin etmelisiniz (veya başka bir cevapta tartışıldığı gibi benzer şekilde yapılandırılmış başka bir kübik denklemi içeren eşdeğer bir tahmin yapmalısınız).
İfadeni koyduğumda $z$ bir hesap makinesine alıyorum $2.000000...$, bu da amaçladığınız değere oldukça yakın görünüyor $z=2$.