dağıtımda yakınsama $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Bir dağıtım dizisi tanımlayın $u_n$.

İzin Vermek $u_n\to u$ içinde $D'(X)$ ve bir sekansımız olduğunu varsayalım $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ öyle ki $\varphi_n\to \varphi $ içinde $C_c^\infty(X)$.

Gösterebilir miyiz $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Biliyorum gösterebiliriz $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ herhangi $\phi\in C_c^\infty(X)$,ve $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ her biri için $n$.Bunları birlikte nasıl birleştirebilirim?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Ama tam olarak aynı değişken değil mi?

Answer 1

Farzediyorum $X$ açık bir alt kümesidir $\mathbb{R}^n$. Herhangi bir kompakt alt küme için$K$ nın-nin $X$, İzin Vermek $C_K^{\infty}(X)$ hepsinin Frechet uzayını gösterir $f \in C_c^{\infty}(X)$ öyle ki $\text{supp}(f) \subset K$.

Katı endüktif limit topolojisinde yakınsama hakkında önemsiz olmayan bir teorem $C_c^{\infty}(X)$ olması gerektiğini ima eder $n_0 \geq1$ ve kompakt bir alt küme $K \subset X$ böylece her biri $\varphi_n$ ile $n \geq n_0$ ve $\varphi$ kendisi ait $C_{K}^{\infty}(X)$ ve şu $\varphi_n \rightarrow \varphi$bu alanda. Kısıtlama haritası$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ zayıf yıldız topolojileri için süreklidir ve dolayısıyla sınırlı dağılımlar dizisi $u_n|_{C_K^{\infty}}$ kısıtlı dağıtıma yakınsar $u|_{C_K^{\infty}}$ zayıf yıldız topolojisinde $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Böylelikle sorunumuzu, her Frechet alanında $V$, her yakınsak vektör dizisi için $\varphi_n \rightarrow \varphi$ ve sürekli doğrusal fonksiyonallerin zayıf yıldız yakınsak dizisi $\ell_n \rightarrow \ell$, sahibiz $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ içinde $\mathbb{C}$, gibi $n \rightarrow \infty$.

Daha kolay bir indirgeme ile, bunu durumda kanıtlamak yeterlidir $\varphi=0$ ve $\ell = 0$.

Bu da, bu yanıtta açıklandığı gibi, Frechet uzaylarındaki tekbiçimli sınırlılık ilkesinden kaynaklanmaktadır . Bu teorem, ailenin$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ otomatik olarak eşit süreklidir, yani herhangi bir $\varepsilon >0$, var $U \subset X$ açık, $0\in U$böylece herkes için $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ sahibiz $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Yani verilen$\varepsilon$önce böyle seç $U$ ve sonra al $n$ yeterince büyük, öyle ki $\varphi_n \in U$.