Değerlendirmek $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$

Question

$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$

Bu sınırı 'süreklilik fikirleri' kullanmadan değerlendirmek zorundayım. Bu yüzden ikame edemeyeceğimi varsayıyorum$-2$İşleve girip sınırı bulabilir miyim? O zaman bu limiti bulmaya nasıl gidebilirim?

Answer 1

Bunu tahmin edebiliriz $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ ve bunu kanıtlamak için tanımı kullanarak $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ sahibiz

$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$

o zaman wlog varsayalım $|x+2|<1$ yani $-3<x<-1$ sonra

$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$

dan beri $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ negatif kesinlikle artıyor $x\in[-3,-1]$ ve $|f(-3)|=206$, o zaman varsaymak yeterli

$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$

Ayrıca ilgili

• "Uygun" bulmak $\delta$ bir limit verildi
• (Ε, δ) -sınır tanımı ile ilgili bir soru

Answer 2

O zamandan beri $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$ve $$\lim_{x \to -2}1=1$$Bu nedenle şu sonuca varabilirsiniz: $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$var ve ayrıca $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$

Yalnızca mülkün sınırlarına ihtiyacınız olduğunu unutmayın.