Entegrasyon yönünü değiştirmek

Aug 17 2020

İntegralin yönünü değiştirmem gerekiyor:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Bildiğim kadarıyla önce şekilleri bulmam gerekiyor:

$0.5y^2 = x$ ve $\sqrt{3-y^2} =x$

Şekil I bir paraboldür: $y^2 = 2x$
Şekil II bir çemberdir $x^2 + y^2 = 3$ (yarıçapı $\sqrt{3}$)

Dolayısıyla, temelde parabolden daireye yatay oklar çizeriz. $0 \leq y \leq 1$.

Bu resme çok benzeyen bir şey:

Dikey çizgiler çizmemiz gerekiyor, bu yüzden böyle görünüyor, ancak 3 alanımız var:

  1. Parabole çarptığımız yer (kırmızı)
  2. Çizgiye nereden vurduğumuz $y=1$ (yeşil)
  3. Çembere çarptığımız yer (mavi)

Ve son cevabım şu:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Şu ana kadar haklı mıyım? Değilsem, nasıl düzeltebilirim? Nasıl devam edeceğimi bilmediğim için sıkışmış hissediyorum ... Yardımın için minnettar olurum! Teşekkürler!

Yanıtlar

2 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 19:14

Yaptığın şey doğru. Bitirdiniz.

Çalışmanızın kontrol edilmesi, $y=1$ kesişmek $0.5y^2=x$ -de $x=0.5$. (bu turuncu bölgeye karşılık gelir.$0.5y^2=x$ eşdeğerdir $y=\sqrt{2x}$ ne zaman $y>0$.

Ayrıca, $y=1$ kesişmek $\sqrt{3-y^2}=x$ -de $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ eşittir $y=\sqrt{3-x^2}$ ne zaman $y>0$.

Alt sınır her zaman $y=0$.

Bunu kısaca şu şekilde de ifade edebilirsiniz:

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Daha ileri değerlendirme, detayına bağlıdır $f$. İntegralin düzenini değiştirmenin olası motivasyonlarından biri,$f$ belirli bir sırayla entegre etmek daha kolaydır.

Not: Toplumsallığınıza bağlı olarak, bazıları bunu şöyle yazarlar:

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$