Entegrasyonu $e^{-\langle Ax , x \rangle}$ bitmiş $\mathbb{R}^n$ [çiftleme]

Question

Sorun :

Eğer $A_{n \times n}$ simetrik, pozitif tanımlı bir matristir, şunu gösterin: $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax , x \rangle}~ dx = \sqrt{\dfrac{\pi^n}{\det(A)}}$$ nerede $\langle a , b\rangle$ iç çarpımını gösterir $a$ ve $b$.

---

Yaklaşmak :

Soruna Değişken Formülün Değiştirilmesi işlevini kullanarak yaklaşıyordum. $\varphi(x) = A^{-1}x$. Dan beri$A$pd ise, ters çevrilebilir olduğunu gösterebilirim. Ama artık devam edemem.

Burada benzer görünümlü bir problem buldum ama hiçbir şey anlayamadım.

Answer 1

İzin Vermek $v_1,\ldots,v_n$ tarafından indüklenen iç çarpım için ortonormal bir temel olabilir $A$karşılık gelen özdeğerlerle $\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0$. Sahibiz$\det(A)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_j$ ve bir izometri ile $$ \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^t A x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-\lambda_1 x_1^2-\ldots-\lambda_n x_n^2)\,dx\stackrel{\text{Fubini}}{=}\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}\int_{\mathbb{R}}e^{-z^2}\,dz. $$

Answer 2

Dan beri $A$ simetrik, bazı ortogonal var $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ (yani $S^{-1} = S^\top$) öyle ki $A = S^{-1}DS$ nerede $D := \mathrm{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ tüm özdeğerleri içeren köşegen bir matristir $A$. Varsayımı nedeniyle pozitif olduklarını unutmayın.$A$pozitif tanımlı olmak. Yani, yüzünden$S^{-1} = S^\top$: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x $$ Şimdi bir operatör tanıtın $\Phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Phi(x):= Sx$. $\Phi$ nedeni ile önyargılı $S$tersinir olmak. Biri daha kolay bulur$D\Phi(x) = S^{-1}$ hepsi için $x \in \mathbb{R}^n$. Bunu da biliyoruz$\lvert \det(S^{-1}) \rvert = 1$ Çünkü $S$ortogonaldir. Dolayısıyla, dönüşüm formülü şunu verir:$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{- \langle S \Phi(x), DS \Phi(x) \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle x, Dx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x $$ Bunu kullan $e^{x+y} = e^x e^y$ hepsi için $x, y \in \mathbb{R}$ ve Fubini şu sonuca varır: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x = \prod_{j = 1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j $$ Şimdi düşünün $$ I_j := \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j. $$ Bir ikame tanıtın $y := \sqrt{\lambda_j}x_j$. Sonra:$$ I_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_j}} \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}~\mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_j}} $$ Her şeyi bir araya getirmek: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} = \prod_{j = 1}^n I_j = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\prod_{j = 1}^n \lambda_j}} = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\det(A)}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det (A)}} $$ Son adımda özdeğerlerin çarpımının determinant olduğunu kullandık.