Eşkenar üçgende iç içe geçmiş sonsuz dairelerin toplam alanı.

Question

Daha büyük çemberin yarıçapı 1 olduğuna göre, yukarıdaki resimde sonsuz çemberlerin toplam alanı nedir?

Bu sitedeki adımları izleyerek sorunun bir bölümünü nasıl çözeceğimi biliyorum .

Ancak sorun kalan daireler. Descarte teoreminin özel bir durumunu (çemberlerden birinin bir doğru olduğu) kullanarak cebir yapmaya çalıştım , ancak bir dizi yazmak için bir model bulamadım ve sonra toplamı buldum.

Kalan dairelerin aşağıdaki resimde kırmızıyla gösterilen alanını nasıl bulabilirim?

Answer 1

Ford dairelerinin teorisine göre , dokunma daireleri tatmin eder$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$

Verilen problem durumunda, her daire iki benzersiz daha büyük daireye dokunur. Kümenin yalnızca bir dalına (çemberlerin üçte biri) odaklanırsak, merkez çemberin yarıçapı vardır.$1$ ve bir sonraki en büyük dairenin yarıçapı var $1/3$benzerlik ile. Dokunma dairelerinin yarıçapı vardır$1/(1+\sqrt3)^2$ yukarıdaki formül ile.

Her daire bir çift tamsayı ile temsil edilebilir $(m,n)$ bu, üst endekslerinin toplamıdır ve yarıçapı vardır $r_{n,m}$ veren $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, yukarıdaki formülü kullanarak. Aşağıdaki diyagram, en büyüğü tarafından oluşturulan sadece bir daire ailesini temsil etmektedir$(1,0)$ ve bir sonraki en büyük $(0,1)$. Ağaçtaki her köşe, daireler arasındaki bir boşluğu temsil eder ve her kenar, iki daireye dokunan teğeti temsil eder.

$\hspace{2cm}$

Soldaki bir sonraki aile, $(0,1)$ ve $(3,0)$ çünkü, merkez üçgenin merkezinden sol köşeye giden çizginin üzerinde olan her dairenin yarıçapı vardır. $1/3^n$ (ile temsil edilen $(3^{n/2},0)$ veya $(0,3^{(n-1)/2})$).

Tablo oluşturma $1/\sqrt{r_{n,m}}$ ilk daire ailesi için:

Aile 1: $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$

Aşağıda, bu çiftleri oluşturmak için bir Mathematica komut dosyası verilmiştir:

level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)

(Merkezdeki daire çıkarılır.)

İlk ailenin alanı için sayısal bir değer $A_1\approx0.4550$.

Ailelerin geri kalanı ilk aileye benziyor çünkü onlar onların ölçekli versiyonları. Örneğin, ikinci aile tarafından oluşturulur$(3,0)$ ve $(0,1)$dolayısıyla, ailenin üçte biri büyüklükte (ve alan olarak dokuzuncu).

Böylece bir şubenin toplam alanı $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.

Toplam alan için gerekli cevap $3B+\pi$, merkezi daireyi ekleyerek. Bu alanın sayısal bir yaklaşımı$4.68$, hangisi bitti $90\%$ tüm üçgenin.