$G$ üçgenin içindeki bir noktadır $ABC$ öyle ki $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, nerede $[XYZ]$ alanı $XYZ$. Olduğunu göstermektedir $G$ centroid $ABC$.

Question

İzin Vermek $G$ üçgen içinde bir nokta olmak $ABC$ öyle ki $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, nerede $[XYZ]$ bir triagle alanıdır $XYZ$. Olduğunu göstermektedir$G$ üçgenin ağırlık merkezidir $ABC$.

Benim girişimim : O zamandan beri$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, Böylece sahibiz $CG$, $AB$ ve $GB$, bunlar $3$ medyanlar, yani $G$ centroid $ABC$.

Bundan emin değilim.

Answer 1

İzin Vermek $CG\cap AB=\{C_1\}$, $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,

$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$, $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ ve $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$

Böylece, $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ hangi verir $$a_1=a_2$$ ve buradan $A_1$ orta noktası $BC$.

Şimdi bitirebilir misin?

Answer 2

Üçgen olmadıkça gerçekten değil $ABC$ eşkenar.

Ancak bu, afin dönüşümleri kullanabilirseniz, bir mantık çizgisi önerir. Aşağıdaki gerçeklere sahibiz:

1. Afin dönüşüm altında, iki alan arasındaki oran sabittir.

2. Eğer $(ABC)$ ve $(A'B'C')$ iki dejenere olmayan üçgendir, bu durumda birbiriyle eşleştiren afin bir dönüşüm vardır.

Sonuç olarak, genel olarak sorunu çözmek için onu bir eşkenar üçgen için çözmek yeterlidir. İşte buyur.

Answer 3

Eş merkezli koordinatları biliyorsanız, bunun kolay bir kanıtı vardır .

Kısaca, bir noktanın baryantrik koordinatları $M$ bir üçgene iç $ABC$ sistem $(w_A,w_B,w_C)$ nın-nin $3$ köşelere yerleştirilecek sayılar ("ağırlıklar" olarak adlandırılır) $A,B,C$ kütle merkezine ulaşmak için $M$.

Bu ağırlıkları bulmanın kolay bir yolu vardır (baryantrik koordinatların sözde alansal yorumu ):

$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ (https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),

Açıklama: Tanımları gereği, çift merkezli koordinatlar benzersizdir, çarpana kadar; en yaygın çarpan$1/[ABC]$: bu durumda, onlara normalleştirilmiş çift merkezli koordinatlar diyoruz ve toplamları$1$.

Tüm alanlar $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ eşittir, normalleştirilmiş barisantrik koordinatlar $(1/3,1/3,1/3)$: ağırlık merkezini tanıyoruz; bu, barisentrik koordinatların birliği nedeniyle sonuca varmaya izin verir.

Not: Bariyantrik koordinatlar,$M$ üçgenin dışı $ABC$: (1) 'de alanların yönlendirilmiş alanlar olduğunu düşünün; Örneğin$[MBC]$ 'dan gidiyorsa pozitif olarak alınır $M$ -e $B$, sonra $C$, biri doğrudan yönlendirme ile döner, aksi takdirde $[MBC]$ negatif işaret ile alınır.