Gysin haritası $K$- teori saygı bordizmi?

Question

İzin Vermek $X_1$ ve $X_2$ iki kapalı dönüş$^c$ bir dönüş yoluyla bordant olan manifoldlar$^c$ manifold-ile-sınır $W$.

İzin Vermek $Z$ kapalı bir dönüş olmak$^c$ manifold ile $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. İzin Vermek$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ düzgün haritalar olun ki $F|_{X_1}=f_1$ ve $F|_{X_2}=f_2$. İle ilişkilendirebiliriz$f_1$ ve $f_2$ iki yanlış yol (veya Gysin) haritası $K$teori:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

İzin Vermek $E_1\to X_1$ ve $E_2\to X_2$ iki olmak $\mathbb{C}$-vektör demetleri, öyle ki bir vektör demeti var $\Omega\to W$ doyurucu $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ ve $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. İzin Vermek$[E_i]\in K^0(X_i)$ belirtmek $K$- tarafından tanımlanan teori sınıfları $E_i$.

Soru: Doğru mu$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Sonra eklendi: En çok, K-teorisi / K-homolojisi için Poincare dualitesini doğrudan kullanmayan bir yaklaşımla ilgilenirim.

Answer 1

İzin Vermek $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ ve $f:M\to X$

Düzgün bir yerleştirme seçin $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$ile belirtmek $\chi$ normal demet $X$ ve tarafından $\mu$ normal demet $M$ uygun küçük deformasyondan sonra $i\circ f$.

İzin Vermek $\nu=\mu|_N$ ve $\eta$ normal demet olmak $N\subset M$ (önemsiz ve tek boyutlu olan)

Borulu mahalleleri göz önünde bulundurarak doğal haritayı elde ederiz:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, nerede $Th$ Thom uzayını belirtir.

Thom izomorfizmini uyguladıktan sonra $th$ açık $K^\bullet$ bir Gysin haritasının tanımını elde ederiz ("sağa" giden bir $Th$'s). İçin böylece$f_!(E|_N)=0$ bunu kanıtlamak yeterli $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Aslında $t^*$birleştirici bir homomorfizmden geçiyor. Yani, değişmeli bir diyagram var:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

Üstteki ok, boru şeklindeki mahallelerden geliyor.

Yatay izomorfizm, önemsizlikten gelir $\eta$, askıya alınırken $\Sigma$ Puppe kofiber dizisinden:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

Harita $\sigma$ değişme özelliğini açıklar ve şunlardan gelir:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ nerede $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ tasması $N$.

En sonunda, $\Sigma^*$ birleştiren homorfizmdir ve bunu takip eder $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ hepsi için $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, yani $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Answer 2

Cevap evet, yönelimlerin genel özelliklerini ve temel sınıfları kullanarak.

İzin Vermek $X_1$ ve $X_2$ olmak $n$--boyutlu. Sonra$f_{!i}$ kompozit mi $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Bu arada Poincare dualitesi için $W$ forma sahip $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, ve $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Böylece$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, ve bu yüzden

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

kompozitten beri

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

sıfırdır.