Homotopi teorisi teoremi için talep edilen referans
Şu gönderiye rastladım: Üzerinde çalıştığım bir teorem için tam olarak ihtiyacım olan sonucu belirten kompakt topolojik manifoldun homotopi grupları . Bununla birlikte, izleyicinin homotopi teorisinde çok bilgili olması gerekmediği için bir referansa ihtiyacım var.
Birisi sonucu nerede bulabileceğimi önerebilir mi:
Teorem: Her kapalı, bağlantılı pürüzsüz$d$-manifold $M$ sürekli ve boş homotopik haritaya sahip değil $f: S^{d'} \rightarrow M$ bazı alanlar için $S^{d'}$ ile $1 \leq d' \leq \dim(M)$.
Başka bir deyişle, eğer $M$ kapalı ve bağlantılı düz bir manifold ise önemsiz olmayan bir $\pi_{d'}(M)$ bazı $d'\leq \dim(M)$.
Yanıtlar
Bu bir referans değil, kısa bir kanıt:
değilse, o zaman $d'=1$ bunu görüyoruz $M$ basitçe bağlantılı olması gerekir.
Özellikle, homoloji gruplarının tümü kaybolursa, o zaman $M$kasılabilir. Ancak boyuttaki homoloji grupları$> \dim(M)$ her zaman kaybolur ve hipotez (Hurewicz tarafından) boyuttaki homoloji gruplarının $\leq \dim(M)$ kaybolur.
Bu şu anlama gelir $M$ Poincaré dualitesi tarafından imkansız olan (her iki mod da $2$veya ayrılmaz çünkü $M$ basitçe bağlantılıdır)
Daha basitçe söylemek gerekirse: $M$ mod $2$yönlendirilebilir, bu nedenle önemsiz bir moda sahip olmalıdır $2$-komoloji, bu boyutta olmalı $\leq \dim(M)$, ancak hipotez Hurewciz teoremine göre öyle olmadığını ima ediyor.