İçin kapalı formlu bir ifade var mı $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?
Diye sormak istiyorum $|x|<1$ürünü ifade edebiliriz $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ işlev olarak $f(x)$. Weierstrass çarpanlara ayırma teoremini kullanmaya çalıştım, ancak çok başarılı olamadım.
Bir referansı veya çözümü gerçekten takdir ediyorum.
Yanıtlar
Yorumlarda daha önce de görüldüğü gibi, ifade için sonsuz ürünlerden elde edilebilir. $\Gamma$( Euler'in biri veya Weierstrass'ın biri):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ ve "cebirsel" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, veren $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Bu, burada ana hatlarıyla belirtildiği gibi, daha genel "rasyonel sonsuz ürünler" için kolayca geçerlidir .
Yorum Yap:
Bu ürünün sınırı Weierstrassn eşitsizliğinde bulunabilir:
Eğer $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ birlikten küçük gerçek pozitif tamsayılardır ve:
$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$
sonra:
$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$
İzin verebileceğimiz yerler:
$a_n=\frac x {n^3}$