İki doğal sayı arasındaki kare sayısı

Question

Doğal sayılar verildiğinde $m>n\in \mathbb{N}$ arasında kaç tane kare var $m$ ve $n$? yani kaç tane doğal sayı$k\in \mathbb{N}$ tatmin et $n \leq k^2\leq m$?

Sanırım en büyük kareyi bilseydik $k^2=s\leq m$ ve en küçük kare $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, o zaman aradığım karelerin sayısı $k-\tilde{k}+1$, ancak bu kareleri bulmanın basit bir yolu var mı? Büyüklüğün fonksiyonları olan sınırlarla sorun olmaz$m-n$.

Answer 1

İki doğal sayı arasındaki kare sayısı $m$ ve $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Kanıt: Let$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ nerede $a$ karesi büyük veya eşit olan en küçük doğal sayıdır $n$ ve $a+s$ karesi m'den küçük veya m'ye eşit olan en büyük doğal sayıdır.

Şimdi, basit gözlemden, $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ ve $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ ve iki doğal sayı arasındaki kare sayısı $s+1$.