İki sonsuz toplamın bölümünün sınırının değerlendirilmesi

Question

Bu limiti nasıl değerlendirebilirim?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

WolframAlpha'ya göre, limit 2 olmalı ama bunu nasıl gösterebilirim? Monoton olduğunu görüyorum, bu yüzden gösterebildiğimde$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$yapılacaktır. Ama biraz sıkıştım ...

Answer 1

paydanın şu şekilde yeniden yazılabileceğini unutmayın: $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Bundan sonra oldukça kolay hale geliyor: pay ve paydayı şuna bölün: $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Bu size sınırı verir$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

L'Hopital'in kuralının belirli koşullar altında ayrı bir versiyonu vardır; genellikle Stolz-Cesaro teoremi olarak bilinir . Burada, toplamayı entegrasyon olarak ele alıyoruz (ve tersine, farklılıkları farklılaştırma olarak kabul ediyoruz). İfade genellikle şu şekildedir: eğer dizi$\{ b_n \}$ olumlu ve $\sum b_n = \infty$ (yani farklı), sonra herhangi bir dizi için $\{ a_n \}$ gerçeklerin $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, sahibiz

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Bunun oldukça güzel bir sonucu, limit karşılaştırma testidir.

Verilen örnek için, al $a_n = 1/n$ ve $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ almak $2$ limit olarak.

Answer 3

Sezgisel açıklama:

Oran

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ ve büyümek için $k$, dönem $\frac12$giderek daha az önemli hale geliyor. Aynı zamanda her iki seri birbirinden ayrılır, böylece ilk terimler önemli değildir.

---

Daha ciddi bir argümanla, toplamları entegrasyonla parantez içine alabilir ve formun sınırlarını elde edebilirsiniz. $\log n+c$. Sonra sıkarak

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

Terimi terime göre karşılaştırarak, elimizde $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Benzer şekilde, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Böylece, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ ve bu nedenle, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Şimdi Sıkma Teoremini uygulayın.