İki topolojik uzayın yol bileşenleri ile çarpımlarının yol bileşenleri arasındaki ilişki.

Question

İzin Vermek $X_1$ ve $X_2$topolojik uzaylar olabilir. Şununla gösterelim$\pi_0(X)$ yol bileşenleri kümesi $X$. Arasında bir ilişki olup olmadığını bilmek isterim$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, ve $\pi_0(X_1\times X_2)$.

Bunu zaten gösterdim $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. Diğer dahil etme doğru mu?

Teşekkürler!

Answer 1

Unutulmaması gereken ilk şey, bunun teknik olarak belirli bir katılım değil, doğal bir katılım $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$yol bağlantılı uzayların çarpımı yol bağlantılı olduğu için. Eğer$X=A \cup B$, ile $A \cap B = \emptyset$, sonra herhangi bir set için $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$bu disoint bileşenidir. Öyleyse$Y = \bigcup_i Y_i$ ve $X=\bigcup_j X_j$, nerede $X_j,Y_i$ yol bileşenleri (ayrık!), bizde $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Bunlar açıkça yol bileşenleridir$X \times Y$, çünkü eğer farklı noktalarda bağlantı noktaları varsa, birbirine bağlayan bir yol olacaktır. $Y_i$ -e $Y_i'$ veya $X_j$ -e $X_j'$. Böylece doğal bir bijeksiyon elde ederiz (dahil etme, örtendir)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ nerede $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.