Kanonik projeksiyonların doğallığı? [çiftleme]

Question

İlk izomorfizm teoremi (gruplar için) şunu belirtir: $G/ \text{Ker} (\varphi) = \varphi(G)$. Buna kanonik izdüşüm denir, ama bazen de doğal izdüşüm. Bunun nedeni, bu kanonik projeksiyonların aslında uygun işlevler arasındaki doğal dönüşüm olması mı olduğunu merak ettim.

Answer 1

İşte denediğim şey (sorumun tam cevabı değil) $\require{AMScd}$

---

Verilen $G$ ve $\varphi: G \to \varphi(G)$. Bir functor oluşturmaya çalışıyoruz$F: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$öyle ki doğal bir dönüşüm var $\eta : \text{id} \to F$. Buraya$\text{id}$ kimlik functoru ve $\mathbb{C}$tüm grupların kategorisidir. Gösterimi hafifletmek için izin ver$N=Ker(\varphi)$, aşağıdaki iki özelliği de bir grup olarak düşünün $H$ sahip olabilir:

$(1)$ En azından biraz morfizm var $\alpha: H \to G$ öyle ki $\alpha(H) - N \not = \emptyset$yani biraz var $h \in H$ öyle ki $\alpha(h) \not \in N$

$(2)$ En azından biraz morfizm var $\beta: G \to H$ öyle ki $\beta(N) \not = 1$

Bu özelliklere sahip grupların bazı yapıları vardır. $\eta$-doğallık koşulu tarafından belirlenen görüntüler ve dahası bunlar tek gruptur, öyle ki, $\eta$-Görüntüler. Bunları görmek için bir grup alın$K$ sahip değil $(1)$ ne de $(2)$. Sonra, bir morfizm için doğallık$f: K \to G$ dır-dir:

\ başlangıç ​​{CD} H @> {f} >> G \\ @VVV @VVV \\ \ eta H @> {\ eta f} >> G / N; \ end {CD}

Eğer $f$ sadece önemsiz homomorfizm mi, o zaman bu sadece $\eta f$ önemsiz bir homomorfizm olmak $\eta H$ "ücretsiz" dir, yani $\eta H$olmalıdır bu değişmeli meydanda. Herhangi bir değişmeli karede "ücretsiz" olduğunu görmek için$H$ etki alanı ve $G$ mülkiyet eksikliğinden dolayı ortak alan $1$bizde var $f(H) - N = \emptyset$, dolayısıyla yukarıdaki değişmeli kare şöyle görünür:

\ başlangıç ​​{CD} h @> {f} >> f (h) \\ @VVV @VVV \\ \ eta h @> {\ eta f} >> 1; \ end {CD}

Yine, bu güçler $\eta f$ önemsiz homomorfizm olmak $\eta H$bedava. Son vaka, nerede$H$ etki alanıdır ve herhangi bir grup için bir morfizm vardır $K$benzer. Benzer şekilde ne zaman için$H$ ortak etki alanıdır.

---

Bu, doğal dönüşümün var olması için sadece tatmin edici gruplar için var olduğunu kontrol etmem gerektiğini gösteriyor. $(1)$ veya $(2)$. Ancak bu şüpheler devam ediyor:

1. Gerçekten iyi tanımlanmış bir $\eta$ doğallık koşulu geçerli olacak şekilde bu gruplar üzerinde?
2. Yukarıdakilere evet ise, doğallık koşulu, $\eta$ bu grupların görüntüleri?

---

İşte son düşünceler:

• İlginçtir ki eğer bu $\eta$aslında vardır, o zaman her grup homomorfizmi doğaldır, çünkü$f: A \to B$ İlk önce öyle bir doğal dönüşüm elde edebilirim ki $A \to A/\text{Ker}(f)$ bir bileşenidir $\eta$, ancak ilk izomorfizm teoremine göre bu, $A \to B$.
• Yapmaya çalıştığım inşaat türü bana alan uzantılarını hatırlatıyor, bu konuda çok bilgim yok ama sanırım belirsiz bir bağlantıdan daha fazlası var.