Kesirli eşitsizlikler hakkında soru

Question

$a,b$pozitif tamsayılardır. İzin Vermek$\frac{a}{b}$ mümkün olan en küçük paydaya sahip kesir olun $b$ öyle ki $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. Değerini belirle$a+b$.

---

Eşitsizliği basitleştirmeyi denedim ama sıkıştım. Ancak bunu şu şekilde biliyorum$b$ en küçük olmak zorunda, yani $a$.

Bu soruyu nasıl yapmam gerektiğine dair bir fikriniz var mı? Herhangi bir yardım için teşekkürler.

Answer 1

Belki aşağıdakiler yardımcı olacaktır.

Sahibiz $$386b+1\leq2019a$$ ve $$35b\geq183a+1.$$ Denklemi çözebiliriz $35b=183a+1,$ hangi verir $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ nerede $k\geq0$ kesir veren bir tam sayıdır $\frac{13}{68}.$

Bunu görmek kolay $\frac{13}{68}$ geçerli değil.

Şimdi alabiliriz $k=1$, $k=2$, ...

Ayrıca denklemi çözebiliriz $386b+1=2019a,$ hangi verir $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ nerede $k\geq0$ tamsayıdır.

Bunu görmek kolay $\frac{373}{1951}$ geçerlidir.

Bunu ilk durumda anladım $k=1$ geçerlidir, hangi verir $\frac{48}{251}.$

Answer 2

Devam fraksiyonu arasında$386/2019$ dır-dir $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

Devam fraksiyonu arasında$35/183$ dır-dir $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Bu nedenle, kesinlikle bu sayılar arasında kalan en basit kesir, kesir devam etti $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$