Neden $i\epsilon$-Klein-Gordon propagandacısında reçete gerekli mi?

Question

Klein-Gordon propagandacısını değerlendirirken, P&S kitabında , s. 31, görüyorum ki, kutupları kaydırmak ve eklemek gelenekseldir$i\epsilon$paydada. Bunun neden gerekli olduğunu anlamıyorum. Neden karmaşık bir analiz kullanamıyoruz? Aşağıdaki adımlarda yanlış olan nedir?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

Bu şekilde ilerlemede ne ters gider? Sadece entegrasyonu yapamaz mıyız$p^0$ için yapıldığı gibi $z$-değişken? Açıkçası,$a$ işlevi olacak $\vec{p}$ ve $m$.

Answer 1

Hesaplamaya çalıştığınız orijinal integralin kapalı bir kontur üzerinde değil gerçek doğru üzerinde olduğuna dikkat edin , bu nedenle konturu kapatmak için uygun bir yol bulana kadar Cauchy teoremi uygulanmaz. Üstel faktörün varlığı nedeniyle$e^{ibz}$, yazdığınız gibi, üst yarı düzlemde kontur kapatılabilir eğer $\mathrm{Re}\, b>0$. Bunun böyle olduğunu varsayalım. Şimdi iki kutbunuz aslında gerçek çizgide, bu yüzden onların etrafından hangi yoldan geçeceğimizi de belirlememiz gerekiyor. Yukarıdaki konturu kapattığınız ve her iki tortuyu da aldığınız için, bu iki kutbun altından geçtiğinizi ima ediyorsunuz. Onların üstünden geçerseniz, sınırlarınızın dışında olurlar ve katkıda bulunmazlar. İki kutbunuzun altından geçtiğiniz için, karmaşık düzlemde iki kutbun sonsuz küçük bir miktarda yukarı doğru kaydırıldığını söyleyerek ne yaptığınızı eşit olarak tanımlayabiliriz.$+i\epsilon$. Bu, gerçek eksen boyunca entegre olurken altlarından geçmenizi garanti eder. Görüyorsunuz ki aslında bazılarını da dahil ettiniz$\epsilon$Bunu kabul etmemiş olmana rağmen hesaplamanda da var.

QFT'deki hesaplamalar için, Feynman reçetesi olarak adlandırılan ve yukarıda yaptığınızdan farklı olan kutupların etrafında hangi yoldan gideceğiniz için doğru bir fiziksel reçete vardır. Bu, P & S'de iyi ele alınmıştır.