Olasılık Yoğunluğu fonksiyonundaki (PDF) "yoğunluk" ile tam olarak neyi kastediyoruz? [çiftleme]
Genel olarak yoğunluk kütle / hacimdir. Ayrıca nüfus yoğunluğu gibi, nüfus / birim alan gibi bir şey için kullanılır.
PDF'deki kelime yoğunluğunun önemi nedir?
Yanıtlar
Kısa cevap: Fiziksel yoğunlukta olduğu gibi, olasılık yoğunluğu olasılık / hacimdir.
Uzun cevap: Homojen nesneler için dediğiniz gibi yoğunluk tanımlanabilir,$m/V$, ile $m$ kütleyi ifade eden ve $V$hacmi. Bununla birlikte, nesneniz homojen değilse, yoğunluk, nesne içindeki uzay koordinatlarının bir fonksiyonudur:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$yani, verilen koordinatlar etrafındaki sonsuz küçük hacim içindeki kütlenin bu sonsuz küçük hacme bölümü. Bir erik pudingi düşünün: Kuru üzümdeki yoğunluk hamurdaki yoğunluktan farklıdır.
Olasılık için temelde aynıdır: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ nerede $f$ olasılık yoğunluğu işlevi (PDF) ve $F$ kümülatif yoğunluk işlevi (CDF), böylece $\Delta F$ sonsuz küçük hacimdeki sonsuz küçük olasılıktır $\Delta V$ koordinatların yakınında $(x, y, z)$ hangi alanda $F$ tanımlanmış.
Şimdi, üç uzay boyutuna sahip fiziksel bir dünyada yaşıyoruz, ancak olasılıkları sadece uzay üzerinde tanımlamakla sınırlı değiliz. Pratikte, tek bir boyut üzerinden tanımlanan olasılıklarla çalışmak çok daha yaygındır, örneğin,$x$. Sonra yukarıdakiler basitleştirir$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Ancak, elbette, olasılık modelinize bağlı olarak, $F$ ve $f$ herhangi bir sayıda boyut üzerinden tanımlanabilir.
Radon-Nikodym türevini , daha genel bir yoğunluk kavramının biçimsel bir tanımı olarak görebilirsiniz .
Aynı alan üzerinde tanımlanan ( geniş özelliğe sahip, toplamsal olan ) iki ölçünün oranıdır .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Bu oran, bir nicelik ölçüsü yapar $\nu$ bir setin $S$ diğer ölçü üzerinde bir integral ile ifade edilebilir $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Tipik olarak payda $\mu$mesafe, alan veya hacim gibi bir metrik ölçüye dayalı bir ölçüdür . Bu, kütle yoğunluğu, enerji yoğunluğu, yük yoğunluğu, parçacık yoğunluğu gibi fizikteki yoğunluklar için yaygındır.
Olasılık yoğunluğu ile payda, daha genel olarak fiziksel alanla ilgili olmayan başka bir değişken türü olabilir . Yine de, Öklid ölçüsü veya Lebesgue ölçüsünün kullanımında sıklıkla benzerdir . Sadece değişkenin fiziksel uzayda bir koordinat olması gerekmiyor.
Tek bir sürekli rastgele değişken için, noktadaki pdf değeri $t$Size olasılık kütlesinin , noktadaki birim uzunluk başına olasılık kütlesi birimi cinsinden ölçülen yoğunluğunu söyler$t$gerçek hatta. Gerçek doğrunun farklı noktalarında olasılık kütlesinin yoğunluğu farklı olabilir; lise fiziğinin kütle / hacim reçetesi kadar kolay değildir.