Olduğunu göstermektedir $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ benzersiz bir çözümü var $\mathbb{R}$
Olduğunu göstermektedir $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ benzersiz bir çözümü var $\mathbb{R}$.
Bu, Matematikte Berkeley Problemleri'ndeki problemlerden birinin bir yansımasıdır.
Benim çözümüm (girişim) yazarların sunduğundan çok daha kısa (bunlar, bazı mahallelerde benzersiz bir çözümün var olduğunu gösteriyorlar. $(0,54)$ Picard teoreminin yerel bir versiyonunu kullanarak ve daha sonra bu mahalleyle ilgili açık bir çözüm bulmak için IFT'yi kullanın ve bu çözümün $\mathbb{R}$) bu yüzden bir şeyi kaçırmadığımı kontrol etmek istedim.
İşte benim çözümüm:
İzin Vermek $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Düzelt$h >0$. Sürekli fonksiyonların temel özelliklerine göre$f$ sürekli $[-h,h] \times \mathbb{R}$ ve dahası Lipschitz in $y$bu şeritte. Bu,
$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ ve MVT.
Picard'ın teoremi geçerlidir ve IVP'nin benzersiz bir çözümü olduğunu görüyoruz. $[-h,h]$.
Fakat $h$ keyfi olduğu için IVP'nin tüm $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
Bu doğru mu? Genel olarak küresel çözümlerin benzersizliğini / varlığını nasıl kanıtlayacağımdan biraz emin değilim ... analitik devamlılık mı yoksa küresel Picard mı ?!
Kullanmakta olduğum Picard teoreminin versiyonunun
IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$üzerinde benzersiz bir çözüme sahiptir $\mathbb{R}$ sağlanan, $\forall h:$
$f$ sürekli $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$
$f$ Lipschitz y üzerinde mi $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.
Yanıtlar
Fikriniz doğru. Alt doğrusal bir sağ tarafla küresel bir çözüm elde edersiniz. Kanıt fikri, örneğin,
- Birinci dereceden ODE'ye çözümün varlığı. İspatlanacak ne var?
- Bir ODE'nin benzersiz çözümünün kanıtındaki eşitsizlik
Kaynağınızla ilgili sorun, standart yerelleştirilmiş olandan sonra teoremin bu daha küresel versiyonunu kanıtlama çabası vermemiş olmaları olabilir. Bu nedenle çözümü birçok yerel çözümden bir araya getirmeleri gerekir.
Durumunuzun formülasyonuyla, yalnızca bir çözüm elde edeceğinizi unutmayın. $[a-h,a+h]$Bu, ODE'nin araştırılan alanı olduğu için şaşırtıcı olmamalıdır.