Olduğunu göstermektedir $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [kapalı]

Question

Biri bana nasıl gösterileceğine dair bir ipucu verebilir mi $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Her iki integrali ayrı ayrı nasıl yapacağımı biliyorum, ancak bu soru onları değerlendirmenin başka bir yoluna götürüyor ve önce bunun gösterilmesini gerektiriyor. Bu nedenle, her ikisini de ayrı ayrı değerlendirmek yerine, sorunun amaçlandığı şekilde integrali manipüle ederek eşdeğerliği göstermek istiyorum.

Her iki tarafla da çalışmayı denedim ve bir numarayı kaçırdığımı hissediyorum. Parçalara göre entegrasyon kullanmak paydanın gücünü artırır ve hoş bir iptal olmaz (ilgisiz bir azaltma formülü dışında). Büyük bir ikame de göremiyorum.

Answer 1

İkameyi zorlayarak $x\mapsto 1/x$, bulduk

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

Ve bitirdik!

Answer 2

Temelde bunu kanıtlamak istiyorsun

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

İntegrali düşünün $(1,\infty)$Aralık. Değişkenlerin değişimini uygulamak$y = 1/x$ anlıyoruz

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

ki bu açıkça doğru.