Pozitif bir tam sayı için $n\geq 2$ bölenlerle $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, kanıtla $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ bölenler ile pozitif bir tam sayı olmak $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Kanıtla$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ her zaman daha azdır $n^2$ve ne zaman bölen olduğunu belirleyin $n^2$

Bu soruyu deniyorum ama fikirlerim tükendi, biri küçük bir ipucu veya öneri verebilir mi? Lütfen bana çözümü vermeden.

Şu gerçeği kullanmaya çalışıyorum. $d_i$*$d_{i+1}$ bölen $n^2$ (ve hepsi farklıdır) ve belki bu belirli toplamın şundan küçük olup olmadığını görmek için bölenlerin toplamı formülünü kullanmaya çalışabilir $n^2$

Yanıtlar

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

İpucu 1: Ne kadar büyük olabilir $d_{k-1}$ bir işlevi olmak $n$? Ne dersin$d_{k-2}$?

İpucu 2: Bırakın $p$ en küçük asal faktör olmak $n$. Hakkında ne söyleyebilirsin$d_{k-1}$ açısından $n,p$? En büyük (uygun) bölen nedir$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

Dan beri $d$ bölen $n$ ancak ve ancak $n/d$ biz var $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ ayrıldı [\ text {beri $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\sağ]$}$$

İkinci bölüm için $n$ bileşik ol ve $p$ en küçük asal faktör olmak $n$. O zaman bizde$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Şimdi eğer $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ bölen $n$ o zaman sahip olmalıyız $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Fakat$p>\frac{n^2}{N}$ çünkü bir çelişki $p$ en küçük asal bölen $n^2$. Yani$N\mid n^2$ ancak ve ancak $n$ bir asaldır.