Rastgele bir değişkenin beklentisini değerlendirme

Question

İzin Vermek $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ üniter ve doğrusal olarak bağımsız vektörler olabilir ve $X_1,...,X_n$ bağımsız rastgele değişkenler (belirli bir olasılık alanında) öyle ki her $X_i$ Bernoulli parametre dağılımına sahiptir $p_i \in [0,1]$.

a) Bırak $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$beklentisini hesapla $Z$, nerede $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ ile $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.

b) V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, bunu herhangi biri için göster $v \in V$ var bir $y \in V$ öyle ki $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ ve $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, ile $b_i \in \{0,1\}$. İpucu: a) kullanarak.

Bu alıştırmayı internette buldum ve çözmekte güçlük çekiyorum b). Ben a) noktasını seçtim$( \mathbb{R}^n, B, P)$ olasılık uzayı olarak, burada B Borel $\sigma $-algebra ve P, çarpım ölçüsüne eşittir $X_i$dağılımlar. Z'nin beklentisinin olduğunu buldum\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

A) noktasındaki çözümümün doğru olup olmadığını bilmek ve b) noktası için bazı tavsiyeler almak istiyorum.

teşekkür ederim

Answer 1

Sanırım alıştırmanın ana konusu b noktasıdır ve şu şekilde ispatlanabilir.

a)) Bırak $y=\sum x_i v_i$, nerede $x_i=1$ olasılıkla $p_i$ ve $x_i=0$ olasılıkla $1- p_i$, bağımsız.

Sonra

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

Yani $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

b)) Seçme $p_i=a_i$ her biri için $i$bunu elde ederiz $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ b noktasını ima eder.