Tekil kuadratik formlar için özel ortogonal grubun analogu

Question

Özel ortogonal grup $SO(n)$ özel lineer grubun alt grubudur $SL(n)$ nın-nin $n\times n$dejenere olmayan simetrik bir çift doğrusal formu koruyan determinant matrisler. Böyle bir çift doğrusal form, kimlik matrisiyle ilişkili olan olarak alınırsa, o zaman$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$Tekil simetrik çift doğrusal formu koruyan grubun güzel bir tanımı var mı? Örneğin, alırsak$I_{k}=(a_{i,j})$ matris olmak $a_{i,i} = 1$ için $1\leq i\leq k$, $a_{i,i} = 0$ için $k+1\leq i\leq n$, ve $a_{i,j} = 0$ için $i\neq j$, o zaman grubu nasıl tanımlayabiliriz $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ bir matrisin koruyuculuğu $I_k$?

Çok teşekkür ederim.

Answer 1

Evet, genel olarak keyfi bir alanda oldukça acildir (diyelim ki $0\neq 2$). İzin Vermek$m$ çekirdeğin boyutu olmak ve bir ek alt uzay düzeltmek.

Sonra bu ayrışmanın altında ikinci dereceden biçim $q$ olarak yazıyor $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, ile $q_0$dejenere olmayan. O zaman ortogonal grup$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ Özellikle, $\mathrm{SO}(q)$ determinant matrislerinden oluşur $1$yani köşegen blokların her iki belirleyicisi vardır $1$ ya da her ikisi de $-1$ (ikincisi, her iki blok da sıfır değilse mümkündür, yani, $q\neq 0$ ve $q$ dejenere: bu durumda, $\mathrm{SO}(q)$ cebirsel grup olarak 2 bileşene sahipken, $q=0$ veya $q$ dejenere olmayan, tek bir bileşeni vardır).

---

Alternatif formlar için benzer bir açıklama var, ortogonal grup $\mathrm{O}(q_0)$semplektik bir grupla değiştirilmek. Semplektik grup zaten belirleyicidir$1$daha sonra her durumda alternatif bir formun belirleyici 1 grubu bağlanır.

---

Açıklamanın diğer sonuçları: Ayrıca tek kutuplu radikalin ($\mathrm{Mat}_{n,m-n}$) nın-nin $\mathrm{SO}(q)$türetilmiş alt grubunda yer alır; bağlı bileşenin türetilmiş alt grubunda yer alır$\mathrm{SO}(q)^\circ$ sürece $(n-m,m)=(1,1)$. Ayrıca eğer$\min(n-m,m)\ge 2$bunu görüyoruz $\mathrm{SO}(q)^\circ$ mükemmel.