Temsil eden asal sayılar $x^3-21xy^2+35y^3$.
Bu özel ikili kübik formla temsil edilen asal sayılar hakkında ne biliyoruz? $x^3-21xy^2+35y^3$?
Sorumun çok kısa olduğunu biliyorum ama bu konuda hiçbir fikrim yok ve yanıtı literatürde nerede bulabilirim bilmiyorum.
İkili kübik denklem olup olmadığını kontrol edecek bir program bulmak için ağda arama yaptım. $f(x, y)=n$bir çözümü var ya da yok ama hiçbir şey bulamadım. Bir cevabın veya soruma atıfta bulunulmaması durumunda, herhangi bir programı / motoru tanıtmak memnuniyetle karşılanacaktır.
İzin Vermek $\alpha$ polinomun kökü olmak $x^3-21x-35=0$ve izin ver $K:=\mathbb{Q}(\alpha)$. O zaman bunu göstermek kolay$$Norm(x+y\alpha+z\alpha^2)=x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$ Bu İkili kübik form sadece $Norm(x+y\alpha)$.
Unutmayın ki ayrımcı $P(x)=x^3-21x-35$ dır-dir $-(4\times(-21)^3+27\times(-35)^2)=3969=3^4\times7^2$çok ayırt edici $K$ bir karedir, dolayısıyla döngüsel bir kübik Galois uzantısıdır, dolayısıyla $r_1=3$ ve $r_2=0$. Dirichlet'in birim teoremi ile şu sonuca varabiliriz:$\mathcal{O}_K^{\times}=\{\pm1\}\times\mathbb{Z}^2$. Ayrıca şunu unutmayın:$P(x)=x^3-21x-35$ dır-dir $7$-Eisenstein ve $P(x-1)=x^3-3x^2+3x-1-21x+21-35=x^3-3x^2-18x-15$ dır-dir $3$-Eisenstein; böylece sonuca varabiliriz$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\alpha\oplus\mathbb{Z}\alpha^2$.
Aşağıdaki sorunun cevabı olumlu mu?
Varsayalım ki $Norm(a+b\alpha+c\alpha^2)=p$. Bir birim var mı$u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ öyle ki $(a+b\alpha+c\alpha^2)\times u = A+B\alpha$ bazı tam sayılar için $A, B$? Varsayalım ki$a+b\alpha+c\alpha^2$verilmiş. Uygun bir birim bulabilir miyiz, öyle ki çarpma işleminden sonra ürünü doğrusal kombinasyonu olarak yazabiliriz.$1$, ve $\alpha$? ihtiyaç duymadan$\alpha^2$?
Yanıtlar
İzin Vermek $\alpha$ kökü olmak $x^3-21x+35=0$. O zaman formun asallarını karakterize etmek kolaydır$$N(x + y\alpha + z\alpha^2) = x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2$$Will Jagy'nin cevabında bu zaten atlanmıştı .
(Teorem) Bir asal$p\neq 3,7$ yukarıdaki kübik form iff ile temsil edilebilir $p\equiv \pm 1, \pm 8 \pmod{63}$.
Teoremin Kanıtı : Let$K$olmak sayısı saha$x^3-21x+35$. Aşağıdaki gerçekleri varsayıyorum:$K$ sınıf numarasına sahip $3$, içinde bulunan $\mathbb{Q}(\zeta_{63})$.
İzin Vermek $H$ Hilbert sınıfı alanı olmak $K$, sonra $H/\mathbb{Q}$ derece değişkendir $9$ ($H/\mathbb{Q}$ Galois ve herhangi bir düzen grubu $9$ değişmeli).
- İddia: $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$. Bu, siklotomik alanların genel (ancak iyi bilinmeyen) gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Buradaki cevapta kanıtlanan şu öneriye sahibiz :$F/\mathbb{Q}(\zeta_m)$ çerçevesizdir (sonlu asallarda) ve $F/\mathbb{Q}$ değişmeli, sonra $F=\mathbb{Q}(\zeta_m)$. Çünkü$H/\mathbb{Q}$ değişmeli, bu önermeyi uygulamak $F=H\mathbb{Q}(\zeta_{63})$ gösterir ki $H\mathbb{Q}(\zeta_{63}) = \mathbb{Q}(\zeta_{63})$, yani $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$.
- İddia: $H$ karşılık gelir $\{\pm 1,\pm 8\} \subset (\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times$. $H$ bir sipariş alt grubuna karşılık gelir $4$ nın-nin $(\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times = C_6 \times C_6$böyle bir alt grup benzersizdir ve bu tek olanıdır.
En sonunda $p\neq 3,7$ olarak temsil edilebilir $N(x + y\alpha + z\alpha^2)$ iff $p$ ilke ideallere ayrılır $K$, ancak $p$ tamamen bölünür $H$, ispat tamamlanıyor.
Kısıtlama $z=0$kübik formun% 50'si daha aldatıcıdır ve muhtemelen basit bir cevabı yoktur. Eğer$\pi(n)$ asal sayma fonksiyonunu gösterir, sonra
| $p$ | Sayısı $p \equiv 1, 8, 55, 62 \pmod{63}$ | Sayısı $p=x^3-21xy^2+35y^3$ |
|---|---|---|
| $\pi(p)\leq 3000$ | 326 | 61 |
| $3001\leq \pi(p)\leq 6000$ | 344 | 42 |
| $6001\leq \pi(p)\leq 9000$ | 326 | 32 |
Form denklemi $N(x+y\alpha)$bir Thue denklemidir . Her birey için$p$olup olmadığını kontrol etmek için bir algoritma var $N(x+y\alpha) = p$ayrılmaz bir çözüme sahiptir. Aşağıdaki Magma kodu, yukarıdaki tablodaki küçük$p$:
R<x> := PolynomialRing(Integers());
f := x^3 -21*x+35;
T := Thue(f);
list := {71, 127, 181, 197, 251, 307, 379, 433, 449, 503, 631, 701, 757, 811};
t := { n : n in list | Solutions(T, n) ne [] };
t
hangi çıktılar { 71, 127, 197, 307, 379, 449, 757 }. Asalların tam listesi$p$ ile $\pi(p)\leq 9000$ hangi şekilde yazılabilir $p=x^3-21xy^2+35y^3$ dır-dir
{71,127,197,307,379,449,757,827,1259,1511,1637,1693,1889,2017,2339,2393,3221,3851,4283,4591,4789,5417,5419,5923,6047,6229,6553,6679,6733,7127,7253,7309,7687,7993,8387,8819,9883,10151,11593,11717,11719,12781,13033,14057,14923,15121,15749,16057,16829,17891,19081,19853,20593,21617,21673,22877,23633,24373,24697,24877,26641,28351,28547,28909,29287,30241,30493,31193,32381,32507,34469,35279,35281,35603,37799,37997,38611,38737,39439,40123,41887,42013,42407,44281,44729,45863,46187,47431,47881,49391,51659,51913,52289,53171,53857,54181,54559,55061,55763,55817,57457,57709,58897,60103,61487,62047,62189,62819,66403,67481,68041,70309,72269,72577,72883,77813,78569,79813,81017,81019,81703,82727,83719,84239,84869,86491,87443,87697,89767,90019,90271,92177,92357,92413,92861}
'Gerçek' bir cevap değil ama yorum için çok büyüktü. Hesap makinesi veya PC kullanmadan bir çözüm aradığınızı düşünüyorum ama belki bu biraz fikir verir. Sadece aşağıdaki sınırlarla hızlı bir arama yaptım:$-50\le x\le50$ ve $-50\le y\le50$.
Bazı Mathematica kodlarını yazdım ve çalıştırdım :
In[1]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
ParallelTable[
If[TrueQ[PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} ->
Nothing
Kodu çalıştırmak şunu verir:
Out[1]={{{-48, 25, 1066283}, {-48, 49, 6427331}}, {{-47, -21,
7309}, {-47, -15, 127}, {-47, 11, 62189}, {-47, 15, 236377}, {-47,
21, 655579}, {-47, 26, 1178549}, {-47, 30, 1729477}}, {{-46, -17,
9883}, {-46, -15, 1889}, {-46, 27, 1295783}, {-46, 33,
2212433}}, {{-44, -15, 4591}, {-44, 15, 240841}, {-44, 17,
353807}, {-44, 23, 829457}, {-44, 35, 2547341}}, {{-43, -20,
1693}, {-43, 15, 241793}, {-43, 34, 2340001}, {-43, 40,
3605293}, {-43, 45, 4938443}}, {{-41, -18, 5923}, {-41, -15,
6679}, {-41, 17, 351863}, {-41, 23, 812393}, {-41, 45,
4863979}, {-41, 48, 5785543}}, {{-39, -17, 5417}, {-39, 25,
999431}, {-39, 32, 1926217}, {-39, 37, 2834747}, {-39, 43,
4237757}}, {{-38, -15, 6553}, {-38, 9, 35281}, {-38, 41,
3698801}}, {{-37, -15, 6047}, {-37, 9, 37799}, {-37, 10,
62047}, {-37, 16, 291619}, {-37, 21, 616139}, {-37, 39,
3207329}, {-37, 40, 3432547}}, {{-36, 7, 2393}, {-36, 13,
158003}, {-36, 35, 2380069}, {-36, 37, 2761163}, {-36, 43,
4133933}}, {{-34, -15, 3221}, {-34, 7, 7687}, {-34, 27,
1170107}, {-34, 37, 2711017}, {-34, 43, 4063627}}, {{-33, -14,
3851}, {-33, 14, 195931}, {-33, 16, 284831}, {-33, 26,
1047691}, {-33, 34, 2140811}, {-33, 35, 2313613}, {-33, 40,
3312863}, {-33, 49, 5745671}}, {{-32, -15, 307}}, {{-31, 10,
70309}, {-31, 12, 124433}, {-31, 15, 234809}, {-31, 22,
657973}, {-31, 25, 923959}, {-31, 33, 1936943}}, {{-29, -13,
1637}, {-29, -10, 1511}, {-29, 8, 32507}, {-29, 12, 123787}, {-29,
15, 230761}, {-29, 17, 323567}, {-29, 20, 499211}, {-29, 23,
723617}, {-29, 27, 1108477}, {-29, 33, 1896607}, {-29, 38,
2775527}, {-29, 45, 4398211}, {-29, 50, 5873111}}, {{-27, -11,
2339}, {-27, -10, 2017}, {-27, 29, 1310779}, {-27, 34,
2011409}, {-27, 41, 3345679}, {-27, 46, 4586849}, {-27, 50,
5772817}}, {{-26, 5, 449}, {-26, 27, 1069363}, {-26, 33,
1834813}, {-26, 35, 2151899}, {-26, 47, 4822343}}, {{-24, 7,
22877}, {-24, 23, 678637}, {-24, 25, 848051}, {-24, 43,
3700817}, {-24, 47, 4733317}}, {{-23, 5, 4283}, {-23, 6,
12781}, {-23, 11, 92861}, {-23, 21, 524971}, {-23, 26,
929501}, {-23, 29, 1247651}, {-23, 30, 1367533}, {-23, 39,
2798641}, {-23, 50, 5570333}}, {{-22, -9, 1259}, {-22, 9,
52289}, {-22, 15, 211427}, {-22, 19, 396199}, {-22, 21,
517229}, {-22, 25, 824977}, {-22, 45, 4114277}}, {{-19, -8,
757}, {-19, 7, 24697}, {-19, 10, 68041}, {-19, 18, 326537}, {-19,
22, 558937}, {-19, 25, 789391}, {-19, 28, 1074277}, {-19, 33,
1685447}, {-19, 42, 3290057}, {-19, 43, 3513637}, {-19, 48,
4783157}}, {{-18, 5, 7993}, {-18, 11, 86491}, {-18, 41,
3041821}}, {{-17, -6, 379}, {-17, 5, 8387}, {-17, 11, 84869}, {-17,
21, 476659}, {-17, 24, 684559}, {-17, 30, 1261387}, {-17, 35,
1933037}, {-17, 36, 2090719}, {-17, 44, 3667679}}, {{-16, 7,
24373}, {-16, 33, 1619603}}, {{-13, -6, 71}, {-13, 10,
60103}, {-13, 16, 211051}, {-13, 25, 715303}, {-13, 31,
1302841}, {-13, 34, 1689031}, {-13, 36, 1984571}}, {{-12, -5,
197}, {-12, 19, 329309}, {-12, 31, 1283129}}, {{-11, 3,
1693}, {-11, 5, 8819}, {-11, 12, 92413}, {-11, 15, 168769}, {-11,
20, 371069}, {-11, 30, 1151569}, {-11, 35, 1782269}, {-11, 38,
2252753}, {-11, 42, 2999233}, {-11, 47, 4142753}}, {{-9, 2,
307}, {-9, 8, 29287}, {-9, 10, 53171}, {-9, 13, 108107}, {-9, 25,
664271}, {-9, 32, 1339687}, {-9, 35, 1731421}, {-9, 43,
3131477}, {-9, 50, 4846771}}, {{-8, 9, 38611}, {-8, 15,
155413}, {-8, 29, 994391}, {-8, 45, 3529063}}, {{-6, 5, 7309}, {-6,
13, 97973}, {-6, 25, 625409}, {-6, 43, 3015503}, {-6, 47,
3911923}}, {{-4, 3, 1637}, {-4, 7, 16057}, {-4, 27, 750077}, {-4,
33, 1349207}}, {{-3, 1, 71}, {-3, 4, 3221}, {-3, 5, 5923}, {-3, 11,
54181}, {-3, 19, 262781}, {-3, 40, 2340773}, {-3, 44,
3103381}, {-3, 46, 3540041}, {-3, 49, 4268951}}, {{-2, 5,
5417}, {-2, 9, 28909}, {-2, 11, 51659}}, {{-1, 7, 13033}, {-1, 15,
122849}, {-1, 18, 210923}, {-1, 22, 382843}, {-1, 27, 704213}, {-1,
30, 963899}, {-1, 40, 2273599}, {-1, 43, 2821573}}, {{1, 2,
197}, {1, 3, 757}, {1, 5, 3851}, {1, 12, 57457}, {1, 17,
165887}, {1, 23, 414737}, {1, 35, 1474901}}, {{2, 19, 224911}, {2,
21, 305621}, {2, 25, 520633}}, {{3, 4, 1259}, {3, 14, 83719}, {3,
20, 254827}, {3, 26, 572599}, {3, 29, 800659}, {3, 34,
1302839}, {3, 40, 2139227}, {3, 44, 2859499}}, {{4, 5, 2339}, {4,
15, 99289}, {4, 17, 147743}, {4, 27, 627733}, {4, 33, 1166383}, {4,
45, 3019339}}, {{6, 7, 6047}, {6, 13, 55817}, {6, 17, 135757}, {6,
23, 359407}, {6, 35, 1346491}}, {{8, 1, 379}, {8, 45,
2849687}, {8, 49, 3714859}}, {{9, 5, 379}, {9, 8, 6553}, {9, 10,
16829}, {9, 20, 205129}, {9, 22, 281933}, {9, 23, 326593}, {9, 43,
2434013}}, {{11, -2, 127}, {11, 3, 197}, {11, 7, 2017}, {11, 12,
28547}, {11, 15, 67481}, {11, 25, 403831}, {11, 45,
2722931}}, {{12, 1, 1511}, {12, 25, 391103}, {12, 35,
1193653}, {12, 49, 3514391}}, {{13, -1, 1889}, {13, 11,
15749}, {13, 14, 44729}, {13, 15, 58897}, {13, 24, 328789}, {13,
30, 701497}, {13, 35, 1168397}, {13, 36, 1281349}, {13, 45,
2638747}}, {{16, -3, 127}, {16, 3, 2017}, {16, 5, 71}, {16, 27,
448057}, {16, 33, 895987}}, {{17, 1, 4591}, {17, 9, 1511}, {17, 19,
116101}, {17, 24, 283121}, {17, 31, 704521}, {17, 39,
1538081}, {17, 40, 1673713}, {17, 46, 2656261}}, {{18, -1,
5419}, {18, 5, 757}, {18, 11, 6679}, {18, 29, 541549}}, {{19, 5,
1259}, {19, 12, 9883}, {19, 18, 81703}, {19, 30, 592759}, {19, 33,
830143}, {19, 35, 1018709}, {19, 45, 2388259}}, {{22, -1,
10151}, {22, 21, 131041}, {22, 29, 475721}, {22, 41,
1646261}}, {{23, 1, 11719}, {23, 4, 6679}, {23, 6, 2339}, {23, 15,
21617}, {23, 39, 1353689}, {23, 45, 2223467}}, {{24, 17,
40123}, {24, 23, 173053}, {24, 35, 897049}, {24, 37,
1096703}}, {{26, -3, 11717}, {26, 27, 308447}}, {{27, -1,
19081}, {27, 5, 9883}, {27, 14, 4591}, {27, 16, 17891}, {27, 19,
55061}, {27, 20, 72883}, {27, 25, 212183}, {27, 31, 517481}, {27,
35, 825733}}, {{29, -5, 4789}, {29, -2, 21673}, {29, 3,
19853}, {29, 7, 6553}, {29, 18, 31193}, {29, 25, 190639}, {29, 27,
269333}}, {{31, 3, 24877}, {31, 5, 17891}, {31, 8, 6047}, {31, 20,
49391}, {31, 30, 388891}, {31, 32, 510047}, {31, 33, 578647}, {31,
45, 1900891}}, {{32, -5, 11593}, {32, 9, 3851}, {32, 19,
30241}, {32, 31, 429661}}, {{33, 1, 35279}, {33, 10, 1637}, {33,
16, 1889}, {33, 20, 38737}, {33, 29, 306739}, {33, 34,
610469}, {33, 35, 687637}, {33, 46, 1976309}, {33, 49,
2489759}, {33, 50, 2678437}}, {{34, 23, 87443}, {34, 33,
519553}, {34, 35, 665279}, {34, 45, 1782829}}, {{36, 7,
21617}, {36, 17, 127}, {36, 23, 72577}, {36, 37, 784547}, {36, 43,
1431557}}, {{37, -6, 15121}, {37, 5, 35603}, {37, 6, 30241}, {37,
11, 3221}, {37, 20, 19853}, {37, 30, 296353}, {37, 41,
1156751}}, {{38, 9, 15749}, {38, 31, 330679}}, {{39, -5,
34469}, {39, -2, 55763}, {39, 7, 31193}, {39, 20, 11719}, {39, 22,
35603}, {39, 23, 51913}, {39, 28, 185543}}, {{41, 7, 38737}, {41,
12, 5417}, {41, 13, 307}, {41, 22, 24877}, {41, 43,
1259677}}, {{43, -6, 39439}, {43, -4, 62819}, {43, -1, 78569}, {43,
6, 54559}, {43, 11, 16829}, {43, 21, 5419}, {43, 26, 84239}, {43,
29, 173699}, {43, 39, 782209}, {43, 44, 1312739}}, {{44, -5,
57709}, {44, 3, 77813}, {44, 7, 51913}, {44, 13, 5923}, {44, 25,
54559}, {44, 27, 100493}, {44, 37, 593083}, {44, 45,
1403459}}, {{46, -7, 37997}, {46, -3, 87697}, {46, 33,
303157}, {46, 35, 414611}}, {{47, 1, 102871}, {47, 4, 90271}, {47,
9, 49391}, {47, 10, 40123}, {47, 39, 678761}, {47, 40,
764623}}, {{48, -5, 81017}, {48, 1, 109619}, {48, 5, 89767}, {48,
35, 376417}, {48, 41, 828379}}}
Yani, sınırlarla $-50\le x\le50$ ve $-50\le y\le50$ bulduk $402$çözümler. Kullandığımı bulmak için:
In[2]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
f = Total@*Map[Length];
f[ParallelTable[
If[TrueQ[
PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} \
-> Nothing]
Out[2]=402
Sınırları genişletirsek $-10^3\le x\le10^3$ ve $-10^3\le y\le10^3$ bulduk $92522$çözümler. Sınırları tekrar genişletirsek$-10^4\le x\le10^4$ ve $-10^4\le y\le10^4$ bulduk $6950603$ çözümler.
Ayrımcı $x^3 - 21 x + 35$bir karedir, birçok şey düşer. Verdiğiniz tam norm formu ile temsil edilen asal sayılar,$$ 1, 5, 8, 11, 23, 25, \pmod{63} $$ $$ 62, 58, 55, 52, 40, 38, \pmod{63} $$
Daha fazla kısıtlama var, başlangıçta belli değil, kalıntıların bir alt grubudur $$ \color{red}{ 1, 8, 55, 62 \pmod{63} } $$ $$x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$
Hangi kısıtlamalarla karşılaşıyoruz $z=0$ birinin tahminidir.
Bunu not et $x^3 - 21 x + 35$ ve $x^3 - 21 x + 28$ farklı alanlar ver
