Torricelli'nin noktasının tensör hesabı kanıtı?

Aug 17 2020

Tensör hesabı üzerine olan bu video dersinde , saat 2:36 civarında, uzunluk yönünde dışa doğru artan geometrik bir "uzunluk fonksiyonu" gradyanı alır. Ama gradyanın olması gereken yönü anlamıyorum? farklı noktaların farklı gradyanları var mı? Ve bir fonksiyonu üç noktadan tanımlamanın teknik özelliği tam olarak nedir?

Koordinatları kullanarak ne yaptığını şu şekilde anlatmaya çalışarak inşa etmeyi düşündüm:

Üç puan al $ A_1,A_2,A_3$

Şimdi, bu üç sabit noktadan üçgende bir nokta alıyoruz $ (x,y)$

İzin Vermek $d(A_i(x,y))$ noktamızın tepe noktasına olan uzaklığı A Amacımız aşağıdakileri en aza indirmektir:

$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$

Her iki tarafın gradyanını alıp solu sıfıra ayarladığımızı varsayalım,

$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$

veya,

$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$

Ve üç birim vektörün olduğu nokta $ d(A_i (x,y))$sıfıra gitmek bizim Torricelli noktamızdır, Ancak fonksiyonları tepe noktasından uzaklıklara göre nasıl tanımladığını tam olarak anlayamıyorum. Bunun teknik özellikleri tam olarak nedir?

Dahası, benzer bir kanıtı internette bulamıyorum, bu iyi belgelenmiş bir kanıt değil mi?

Düzenleme: Biraz daha düşündükten sonra, daha karmaşık şekillerin 'Torricelli noktasını' bulmak için benzer bir yöntem kullanabilir miyim? aynı ilkelerle kolaylıkla yapılabilir gibi görünüyor.

Örneğin, beşgenin 'torikelli noktasını' bulmak, 5 birim vektörleri, aşağıda gösterildiği gibi toplamları sıfır olacak şekilde düzenlemenin bir yolunu bulma sorununu azaltır. Dahası, sıfıra eklenen bir düzenleme nasıl bulunur?

Yanıtlar

1 Max Aug 29 2020 at 05:42

Pek çok soru var. Bir liste yapmaya çalışalım.

  1. "farklı noktaların farklı gradyanları var mı?"

Evet onlar yapar. Bir fonksiyonun gradyanı bir vektör alanıdır, yani vektör noktadan noktaya değişir.

  1. "Ama gradyanın olması gereken yönü anlamıyorum?"

"Köşeden uzaklıklara göre fonksiyonları nasıl tanımladığını tam olarak anlayamıyorum. Bunun teknik özellikleri tam olarak nedir?"

Geometrik olarak gradyanın 2 özelliğine sahibiz:

a) Eğim, fonksiyonun en hızlı artış yönünü gösterir.

"O'ya uzaklık" fonksiyonu için, bazı P'de en hızlı artışın yönü (1. bölüme verilen cevaba göre, bu, P değiştikçe değişecektir) OP ışını boyunca "O'dan dışarı" hareketinin yönüdür. Yine, bu yön biz P'yi değiştirdikçe değişir.

b) Gradyanın boyutu, gradyanın yönündeki adım başına fonksiyondaki değişikliktir (çok küçük adımların sınırında).

"O'dan uzaklık" için bu, boyutta bir adım attığımızda "O'dan uzaklığın" ne kadar değiştiğini hesaplamamız gerektiği anlamına gelir. $\Delta$ışın OP boyunca. Cevap$\Delta$. Adım boyutuna göre fonksiyondaki artış oranı 1'dir. Dolayısıyla gradyan vektörü 1 uzunluğundadır (herhangi bir P için).

Alternatif olarak yazabilirsin $f(P)=|OP|$ve gradyan al. O'nun (sabit) koordinatlı bir nokta olduğunu varsayalım$(x_0, y_0)$ ve $P$ değişken koordinatlara sahiptir $(x, y)$.

Gradyanı hesaplamak için $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ kare mesafenin mesafeden daha iyi bir işlev olduğu gerçeğini kullanırız ( $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, dolayısıyla ikinci dereceden polinom). Yani, zincir kuralını kullanıyoruz,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; ve$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Birlikte bu verir$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, diğer adıyla OP ışını boyunca işaret eden birim vektör, yukarıdaki geometrik akıl yürütmeden elde ettiğimiz gibi.

  1. "Daha karmaşık şekillerin 'Torricelli noktasını' bulmak için benzer bir yöntem kullanabilir miyim?"

Pekala, 'Torricelli noktası'nın bulunduğu kısım, noktadan köşelere kadar olan birim vektörlerin toplamının sıfıra kadar olduğu kısımdır ve aynı sebepten dolayı. Sorun şu ki, 3 vektör için bunun doğru olmasının tek yolu, hepsinin herhangi bir vektör çifti arasında 120 açılarına sahip olmasıdır - böylece Torricelli noktasının bu "120 derece" özelliğine sahip olması gerekir. Herhangi bir yüksek sayıda vektör için, sıfıra varan sonsuz sayıda olası birim vektör konfigürasyonu vardır. Dolayısıyla "vektörlerin toplamı sıfıra eşittir" koşulu çok daha az kısıtlayıcıdır. Bu vektörlerin P'den çokgenimizin köşelerini göstermesi koşuluyla önemsiz olmayan bir şekilde birleştirilmelidir. Bunun nasıl yapılacağı hemen benim için net değil.

  1. "Örneğin, beşgenin 'toricelli noktasını' bulmak, 5 birim vektörleri, aşağıda gösterildiği gibi toplamları sıfır olacak şekilde düzenlemenin bir yolunu bulma sorununa indirgiyor. Dahası, genel olarak ekleyen bir düzenleme nasıl bulunur? sıfıra mı? "

Tam. 5 vektör için, bu tür pek çok düzenlemeyi kolayca üretebilirsiniz: 2 birim vektörün toplamı, 0 ile 2 arasında herhangi bir boyutta rastgele yönde bir vektör elde edilebilir. Şimdi tek kenarlı herhangi bir üçgeni alın$\vec{v}$ 1 ve 0 ile 2 arasındaki boyutlarda iki tane daha. Bazı birim vektör çiftlerini toplayarak bu iki "diğer" tarafı yapın ve son olarak son birim vektörü $\vec{v}$. 5 vektörün genel toplamı üçgeni oluşturan 3 vektörün toplamıdır, yani$\vec{0}$.

Şimdi, bu türden rastgele bir konfigürasyon için, ondan 5 köşenize olan vektörün bu konfigürasyonu yapacağı şekilde bir P noktası bulamayacaksınız. Bu nedenle, bu tür bir yöntemi kullanarak beşgenlerin "Torricelli noktalarını" nasıl bulacağınız açık değildir.