Tüm sonlu grupları bul $G$ herhangi biri için $a,b\in G$ ya $a$ bir gücü $b$ veya $b$ bir gücü $a$

Question

Tüm sonlu grupları bul $G$ herhangi biri için $a,b\in G$ ya $a$ bir gücü $b$ veya $b$ bir gücü $a$

Sanırım bu tür tüm grupların $Z_{p^n}$ için $p$prime, bu doğru mu? Önce en büyük mertebenin unsurunu dikkate alarak grubun döngüsel olması gerektiğini gösterdim$\langle a\rangle$ ve eğer çelişki var ise $\langle a\rangle\not= G$. ve sonra eğer $Z_n$ ile $n$kompozit ise bu özelliğe sahip değildir. coprime siparişlerinin iki ayrık döngüsel alt grubu olduğundan.

Bu doğru mu? Bütün gruplar böyle gruplar mı$Z_{p^n}$?

Answer 1

Doğru. Pekala, "ayrık alt gruplar" olayı dışında. Alt gruplar "neredeyse ayrıktır", yani kesişimleri kimlik unsuruna indirgenmiştir, ancak tam anlamıyla birbirlerinden ayrılamazlar.

Answer 2

Evet, alırsan $a$ maksimum düzende ve çelişki ile $b\notin\langle a\rangle$, sonra $a=b^n$ bazı $n>1$, yani $b$ daha büyük siparişe sahip $a$.

Bu nedenle $G$ döngüseldir.

Şimdi kanıtlayabiliriz ki $G$ bir asal güç olmalıdır: "bileşik" i (küçük bir kayma, ancak alakalı) hariç tutamazsınız.

Eğer $|G|$ iki farklı asal ile bölünebilir $p$ ve $q$, sonra $G$ sipariş alt grupları var $p$ ve $q$, ancak bunların önemsiz kesişimleri vardır, bu nedenle grup belirtilen özelliğe sahip olamaz.

Döngüsel bir düzen grubu $p^n$ ($p$ a prime) belirtilen özelliğe sahiptir.