Türev operatörünün logaritmasının matrisi nedir ( $\ln D$)? Bu operatörün çeşitli matematik alanlarında rolü nedir?

Question

Babusci ve Dattoli, Türev operatörünün logaritması üzerine arXiv: 1105.5978 , bazı harika sonuçlar verir:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Merak ediyorum, matrisi nedir ya da başka türlü, onu bir işleve uygulamanın bir yöntemi var mı?

Matematiğin çeşitli alanlarında sezgisel rolü nedir?

Answer 1

Fourier dönüşümü üzerine $x\mapsto k$, bu matris elemanlarıyla köşegen bir işleç olur $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Öyleyse matris elemanlarını bulmak için$x$-temsil logaritmanın Fourier dönüşümünü tersine çevirmemiz gerekecek $\ln k$. Fourier dönüşümü için bu MSE cevabından$\ln |k|$ (mutlak değer işaretleriyle) şu sonuca varırım: $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Bu gösterim şu anlama gelir: $\ln D$ bir işlev üzerinde hareket etmek $f(x)$ yeni bir işlev üretir $g(x)$ veren $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

Answer 2

Bir yorum $\ln(D)$ olağan türev operatörünün ve pozitif tamsayı güçlerinin kesirli bir tamsayı-türev operatörüne (FID) seçildiği enterpolasyona bağlıdır, yani $D$herhangi bir gerçek (veya analitik devam yoluyla karmaşık sayı) ile üslü, bu da FID'nin üzerinde hareket edeceği işlevlere bağlıdır. Aşağıda açıklanan uzantı, B & D'ler için üç kimlik üretir ve Pincherle'nin herhangi bir meşru FID ailesine empoze ettiği özelliklerle tutarlıdır (bu MO-Q'ya 1/2 türev ve bu MO-Q kesirli hesapta bakın ). Karmaşık değişkendeki tüm işlevlerin bir 'temel kümesi' üzerindeki eylem tarafından tanımlanabilir.$\omega$ gibi

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

nerede $H(x)$ Heaviside adım işlevidir ve $\alpha$ ve $\omega$ genelleştirilmiş fonksiyonlar ve dağılımları teorisinde olağan tanımlamaya sahip herhangi bir karmaşık sayı olabilir.

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

ile $n=0,1,2,3,...$.

Bunun gerçek çizgi üzerindeki bir Fourier dönüşümü veya bununla ilişkili herhangi bir sözde-diff op / sembolüyle çok az ilgisi olduğunu unutmayın. Özellikle,$D^{\alpha}$ burada çarpma ile ilişkili DEĞİLDİR $(i 2 \pi f)^{\alpha}$frekans uzayında. Başka bir yerde, bu FID'nin çeşitli eşdeğer evrişimli temsillerini 1) düzenli hale getirilmiş bir Cauchy karmaşık kontur integralinin dönüşümü yoluyla bir daire üzerinde bir FT, 2) Euler beta fonksiyonunun integral temsilinin analitik devamı olarak ya bir patlama yoluyla gösteriyorum. İntegralin gerçek çizgi parçası boyunca karmaşık düzlemi veya Hadamard sonlu kısmı veya Pochhammer çevresi yoluyla düzenlenmesi, 3) Oluşturma fonksiyonunun eylemi yoluyla standart türev operatörünün Mellin enterpolasyonu$e^{tD_x}$, Ramanujan'ın ana formülünün bir operatör uygulaması veya 4) genelleştirilmiş iki terimli katsayıların bir sinc fonksiyonu / kardinal serisi enterpolasyonu.

FID'nin yukarıdaki tanımının ne kadar geçerli olduğunu görelim; FID ve üç B & D kimliğinin sonsuz küçük üreteci (sonsuz) ile bağlantısı; Appell Sheffer polinom dizilerinin formalizmine ve dolayısıyla simetrik polinom / fonksiyon teorisine bir bağlantı; ve infinigen ve FID'nin matris temsilcileri.

Sonsuz küçük bir jeneratör olduğunu varsayarsak $IG$ öyle var ki

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

sonra resmen

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

ve sonsuz

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

nerede $\psi(x)$ karmaşık düzlem üzerinde bir meromorfik fonksiyon olarak tanımlanabilen ve Riemann zeta fonksiyonunun değerleriyle yakından ilişkili olan digamma fonksiyonudur. $s = 2,3,4,...$.

Bazı temsilciler (B & D'deki ile aynı kimlikleri veren)

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

nerede $\lambda$ Euler-Mascheroni sabiti ile ilişkilidir. $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Diğer temsilciler ve yukarıdaki temsilcilere ulaşmanın diğer yolları aşağıdaki referanslarda verilmiştir.

Infinigen için açık diff op formülünün üssü üzerine herhangi bir yakınsama sorununu çözen ve simetrik polinomlar / fonksiyonlar teorisine bağlantılara izin veren Appell Sheffer polinom dizilerinin formalizmi üzerinden bir yola bakalım.

Polinomların ilgili Appell dizisi $p_n(z) = (p.(z))^n$ karmaşık değişkenin tamamı üstel üretme işlevine sahiptir $t$yani Taylor serisinin global olarak yakınsak olmasıyla,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

karşılıklı polinom dizisi dört tutarlı şekilde tanımlanmıştır $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, bir egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, tek terimli kuvvet temelindeki iki dizinin alt üçgen katsayı matrisleri açısından $z^n$ birim köşegenli,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, bir umbral evrişimsel tersine çevirme,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, operasyonel bir jeneratör.

Bunu, Appell polinomlarının yükselen operasyonu takip eder. $p_n(z)$ tarafından tanımlandı

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

tarafından verilir

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

yükselen operatörün bir operatör konjugasyonu veya 'ölçü dönüşümü' $z$ güç tek terimlileri için.

Ek olarak, operatör komütatörü ile $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Şimdi, Rota'nın sonlu operatör hesabı için önerdiği Pincherle ve eponymous operatör türevini yeniden girin. Graves-Pincherle türevi Graves-Yalan Heisenberg-VVeyl komütatör türetilmiştir güç$[D_z,z] = 1$ normal yeniden sıralama ile, burada bir kuvvet serisi olarak ifade edilen herhangi bir işlevi ima eder. $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Bu, eylemden çıkan Pincherle türevinin (PD) bir avatarıdır. $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

ancak PD, tatmin eden daha genel indirme ve yükseltme (merdiven) operasyonları için geçerlidir. $[L,R]= 1$.

Sonra

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

İkame ile $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

Yükseltme operasyonu öyle tanımlanır ki

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

için tam bir işlev $t$karmaşık; bu nedenle

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

yani

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

ve bunu gerçekten tanımlayabiliriz

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

ve

$$IG = \ln(D_x).$$

Şimdi PD'yi şuraya uygulayın: $\ln(D)$, biçimciliğin bir kontrolü ve bir matris temsilcisine bir yol olarak, resmi olarak

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

Bu, komütatörün genel bir fonksiyon için değerlendirilmesiyle açık bir anlam verilir. $g(x)$ kökeninde analitik (bizim 'temel' kümemize genelleşir) için integral temsilcisini kullanarak $R_x = -\ln(D_x)$, veren

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

Böylece sahibiz

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

ve

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

ima eden

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

Ayrıca,

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

sonra

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

nerede

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

Sonlu fark işlem serisi türeve gömülüdür $D_{\alpha =0}$arasında Newton interpolator

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

İçin $\alpha = -m$ ile $m = 1,2,...$ ve $\omega = 0$, bu Newton enterpolatörü verir

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

Dağılımsal anlamda Laguerre polinom çözünürlükleri ile uyuşan $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$formüllerinde bu MO-Q , çünkü,$c_n = f_n$ oradaki notasyonda,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

ile

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

yani, için $m$Heaviside fonksiyonunun -th türevi,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

ve bu nedenle, Laguerre serisi çözünürlüğünün katsayıları $m$Heaviside işlevinin-inci türevi

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

Newton interpolatörüyle uyumlu.

Uygulanıyor $D_x^{-1}$ bu kimliğin her iki tarafına yinelemeli olarak yakınsak enterpolasyonlar kurar. $\omega = 1,2,3,...$ve iki terimli genişlemesi içinde güç esasına göre hareket etmek $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ yakınsak ifadeler de vermelidir.

Benzer şekilde $\omega=0$, Laplace dönüşümüne sahibiz (veya daha doğrusu, değiştirilmiş Mellin dönüşümü merkezi Ramanujan'ın ana formülüne göre FID'lerin standart türevlerin Mellin interpolasyonları olarak kullanılabildiği),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

için $Re(\alpha) > -1$, veren

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

Bu Laplace dönüşümü ve dolayısıyla Newton enterpolatörü, analitik olarak birkaç standart yolla (örneğin, gerçek çizgiden karmaşık düzleme bir Hankel konturu , Hadamard sonlu parçası aracılığıyla patlama ) için tam karmaşık düzleme devam ettirilebilir.$\alpha$. Negatif tamsayı üsleri için, Hankel konturu, farklılaşma için olağan Cauchy kontur temsiliyle daralır. Hadamard-sonlu-parça yaklaşımı, Newton interpolatörünün istenen sonuçları vermek için şerit halinde uygun şekilde değiştirilmesine izin verir.

İçin sonlu fark temsilcisine dönülüyor $\ln(D_x)$, infinigen'in 1 üzerindeki eylemi, $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

nerede $L_n(x)$ Sorudaki B & D'nin ilk denklemi ile uyumlu olarak Laguerre polinomlarıdır.

Operatör serisinin değerlendirme sonuçlarının grafikleri, $n=80$ya da öylesine, harekete geçmek $x^2$ ve $x^3$ analitik sonuçları da eşleştirin.

Matris temsilcisi $M$ bu entegrasyon operasyonunun eyleminin $D_x^{-1}$ açık $x^n$ güç bazında yeterince basittir - ilk alt köşegen hariç tüm sıfırları olan bir matris veya sol veya sağ matris çarpımına bağlı olarak süper köşegen $(1,1/2,1/3,...)$.

Matris temsilcisi $R_x$ o zaman

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Üsselleştirme,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

İlişkili matris temsilcisi

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(MathCad diskim başka bir durumda depolandığı için bu matris hesaplamalarını normalde yaptığım gibi sayısal olarak kontrol etmedim.)

Tamsayı olmayan güçlere göre hareket etmek $x$, onları binom genişlemesinde olduğu gibi tamsayı kuvvet temelinin süperpozisyonları olarak temsil etmelisiniz.

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Alternatif olarak, $z$ rep ve yükselen operasyonun matris temsilcisini yazın $R_z$. Bu, sonsuz alt üçgen Pascal matrisinin basit bir dönüşümüdür ve hepsinin ilk süper köşegeni ile büyütülür. OEIS A039683, polinom dizilerine başka bir yaklaşımda (Riordan?) Bir üretim matrisi olarak da bilinen, tek terimli güç temelinde yükselen bir işlemin matris eşdeğerinin bir örneğine sahiptir. Bu durumda bölünmüş güç tabanına geçmek daha iyidir$z^n/n!$. Daha sonra artırılmış Pascal matrisi, hepsinin basit toplama matrisi olur. N'inci köşegen boyunca çarpın:$c_n$ nerede $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ yükseltme operasyonu için matris temsilcisini oluşturmak için, ancak örneğin, $x^2=e^{2z}$, bu, sonlu fark temsilcisine kıyasla hızla uygulanacak karmaşık bir algoritmaya dönüşür.

---

Diğer referanslar (ayrıntılı değil):

1. Riemann zeta ve kesirli analiz, bir MO-Q
2. Digamma / Psi işlevi, Wiki
3. Türev operatörünün günlüğünde OEIS A238363
4. Döngü indeksi polinomları ve simetrik fonksiyonlar hakkında OEIS A036039
5. Zeta fonksiyonları ve döngü indeksi polinomları, bir MO-Q
6. FID'ler için yükseltme operasyonu hakkında bir MSE-Q
7. Bir matris sonsuz üzerinde OEIS A132440
8. Appell yükseltme operasyonları için bölüm polinom temsilcileri hakkında OEIS A263634
9. Türev, bir pdf günlüğünün başka bir yorumunun referansı
10. Faktörlerin gama fct, MSE-Q'ya enterpolasyonu / analitik devamı
11. Appell dizileri için operasyonları yükseltme, bir blog yazısı
12. Mellin enterpolasyonu örneği $e^{tD}$, MO-Q
13. Farklı operasyonların enterpolasyon / analitik devamı hakkında daha fazla bilgi, bir blog yazısı
14. Bir üretici fonksiyonun katsayılarının iki analitik devamı, MO-Q
15. FID'ler ve birleşik hipergeometrik fonksiyonlar, bir MO-Q
16. Pincherle türevi hakkında bir not, bir blog yazısı
17. FID'ler ve iki terimli katsayıların enterpolasyonu, bir blog yazısı
18. FID'ler, enterpolasyon ve seyahat dalgaları, bir blog yazısı