Ürün topolojisinin $\Bbb C^n$ normal olana eşittir

Question

Bu nedenle, işlevin $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ koşul tarafından tanımlandı

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

herhangi $x,y\in\Bbb C^n$bir iç çarpımdır. Bu yüzden, ürün topolojisinin açık olduğunu$\Bbb C^n$ iç üründen kaynaklanan $\tau_1$ topolojiye eşittir $\tau _n$yukarıda tanımlandığı gibi. Bu sonuca, iki topolojik vektör uzayı arasındaki doğrusal fonksiyonların sürekli olduğunu göstermek ve böylece sonlu boyutlu bir topolojik vektör uzayındaki tüm topolojilerin eşdeğer olduğunu göstermek için ihtiyacım olduğuna işaret ediyorum ve bu nedenle nazikçe, Cevap. Birisi bana yardım edebilir mi lütfen?

Answer 1

Ürün topolojisi norm tarafından oluşturulur

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ nerede $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. İfade eden

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ sahibiz

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ bu, istenen sonuca varmayı sağlar.