$a\in \mathbb{N}$, $p$ Prime, $a<p$ Beweise das $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [Duplikat]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ Prime, $a<p$ Beweise das $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

mein versuch:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

Ich weiß nicht, wie man das gegebene benutzt
$a\mid p+1$

Answer 1

Wir haben $ a \mid p+1$ also da ist $\lambda$ so dass $\lambda a =p+1$. Teilen Sie nun durch$ \lambda p$& wir haben \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}. \ end {eqnarray *}

Die andere Implikation: Wir haben $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ oder $abc=p(b+c)$Multiplizieren Sie dies mit $a$ & neu anordnen auf $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

Dies gibt drei Möglichkeiten $ab-p=1$ oder $ac-p=1$& das Ergebnis folgt. Oder$ab-p=p,ac-p=p$ was gibt $ab=ac=2p$ damit $a=1$ oder $a=2$ und wieder folgt das Ergebnis.