Analytischer Ausdruck für ein Atomgitter-Muffin-Zinn-Potential zur Veranschaulichung und einfachen Streuberechnung

Dec 03 2020

Bevor ich mich mit der Berechnung der Beugung von 20 bis 200 eV-Elektronen von Kristalloberflächen befasse (siehe unten stehende Fragen), möchte ich aus einer einfachen analytischen Näherung ein einfaches "Muffin-Zinn-Potential" (siehe unten) erzeugen entspricht dem, was als elektrostatisches Potential berechnet werden könnte, das ein einfallendes Elektron durch ein in einem Kristall angeordnetes mittelgroßes Atom (Wasserstoff << Atom << Uran) fühlen würde.

Ich kann anfangen zu lernen, wie man damit Phasenverschiebungen und Winkelverteilungen berechnet.

Die Muffin-Zinn-Näherung von Wikipedia spricht darüber, bietet jedoch keine direkten Gleichungen.

Die Näherung nullter Ordnung wäre eine positive Kernpunktladung und eine einheitliche Kugel negativer Ladung, und damit kann ich sicherlich beginnen; mit vagen Einheitlichkeitsargumenten basierend auf dem Ausschlussprinzip. In diesem Zusammenhang wird häufig ein flaches "inneres Potential" von 5 bis 15 eV zwischen Atomen angenommen. In kleinen Entfernungen müsste es abgeflacht werden, da es in der Nähe des Kerns ins Unendliche geht.

Frage: Aber gibt es eine etwas bessere Annäherung als die verfügbare?

Querschnitt durch eine "Ein-Muffin-Dose" aus einer Uniform $r = 1$Elektronenkugel und ein Punktkern, unten willkürlich abgeflacht. Diese würden an jedem Atomort im Raum angeordnet und ein konstantes Potential würde den Raum zwischen ihnen füllen.

Langfristiges Ziel nur für den Hintergrund:

Überblick darüber, wie selbstkonsistente dynamische Elektronenbeugungssimulationen mit niedriger Energie durchgeführt werden
Haben Finite-Differenzen-Zeitbereichsmethoden Fortschritte in der dynamischen Simulation der Elektronen- und / oder Röntgenstreuung durch Kristalle gemacht?
Simulierte LEED-Muster (Low Energy Electron Diffraction)

Antworten

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

Die Augmented Plane Wave (APW) -Methode und im weiteren Sinne die Linearly Augmented Plane Wave-Methode sind beide Verallgemeinerungen der Muffin Tin Approximation.

Sowohl bei der APW- als auch bei der LAPW-Methode ist das Potenzial $V(r)$ wird als stückweise Funktion [1] mit einem einzigen Parameter definiert: dem Muffin-Zinn-Radius $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

Die Werte des Potentials $V(r)$, die Wellenfunktion $\phi(r)$und die elektronische Dichte $\rho(r)$ sind abgestimmt bei $r = r_\mathrm{MT}$ um sicherzustellen, dass das Derivat für jeden von ihnen existiert.

Die folgende Abbildung stammt von Singh & Nordstrom (2006) [2],

Zur Lösung der nicht-relativistischen Schrödinger-Gleichung wird im selben Buch in Kap. 5, p. 63.

Diese Differentialgleichungen [die radiale Schrödinger-Gleichung] können auf dem radialen Netz unter Verwendung von Standard-, z. B. Prädiktor-Korrektor-Methoden gelöst werden.

Bei Übereinstimmung der beiden stückweisen Teile (Kap. 4, S. 44):

Unter Hinweis auf Schrödingers Gleichung: $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ wo $u_1 (r)$ und $u_2 (r)$ sind radiale Lösungen bei unterschiedlichen Energien $E_1$ und $E_2$. Die Überlappung wird unter Verwendung dieser Beziehung konstruiert und durch Teile integriert; Die Oberflächenbegriffe verschwinden, wenn auch nicht$u_1 (r)$ oder $u_2 (r)$ verschwinden an der Kugelgrenze, während sich die anderen Begriffe aufheben.

Ich persönlich halte die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung angesichts des aktuellen Zustands der Computer nicht für zu rechenintensiv. Wenn Sie dies jedoch unbedingt vermeiden möchten, gibt es das Kronig-Penney-Modell , das auf Kosten der Genauigkeit viel einfacher ist.