Approximation einer Doppelsumme durch ein Doppelintegral
Im Zusammenhang mit dieser Frage bin ich daran interessiert, die folgende Summe von oben zu begrenzen$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ was ich hoffe, indem ich es auf das Integral beziehe $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
Die Antworten auf die vorherigen Fragen bestätigten meine Erwartung, dass $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$Die Intuition dafür ist wahrscheinlich, dass sich die Funktion ungefähr wie ein Gaußscher um ihr Maximum bei verhält $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, wo die Funktion den Wert annimmt $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
Allerdings konnte ich den Unterschied nicht zeigen $|I-S|$ist deutlich kleiner als diese Grenze. Für einfache eindimensionale Integrale, beispielsweise mit einem eindeutigen Maximum, ist es nicht allzu schwierig, diesen Unterschied in Bezug auf das Maximum durch Berücksichtigung geeigneter Teleskopsummen zu begrenzen. Ein naives Analogon zu diesem Argument scheint jedoch nicht in zwei Dimensionen zu funktionieren, und der Versuch, dieses Argument auf jeden "Slice" des Integrals anzuwenden, führte zu einigen ziemlich schrecklichen Berechnungen. Ich habe mich auch mit der Verwendung der Euler-Maclaurin-Formel befasst, aber sie liegt etwas außerhalb meines Fachgebiets.
Ich vermute, dass es einen relativ normalen Weg zur Annäherung geben sollte $|I-S|$, und ich wäre auch nicht überrascht, wenn jemand, der sich mit Computern auskennt, einen CAS als Beweis erhalten kann. Ersteres wäre nützlicher, nur damit ich ein Werkzeug habe, um ähnliche Fragen anzugehen.
Ganz explizit würde ich gerne wissen, ob $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$wo sogar big-O für die Anwendung ausreichen würde, an die ich denke, und ich wäre nicht überrascht, wenn der Unterschied sogar durch ein Vielfaches des Maximums der Funktion begrenzt wäre. Ich interessiere mich für die Asymptotik für$i$ und $j$ zur Unendlichkeit neigen, $m$ kann fest oder auch eine Funktion von sein $i$ und $j$. Für die Anwendung, an die ich denke, würde es wahrscheinlich ausreichen, ein solches Ergebnis für zu haben$i = (1+o(1))j$ und $m = o(i)$.
Antworten
Ich kann keine tatsächliche Antwort geben, sondern nur einige Überlegungen und Hinweise, die hoffentlich hilfreich sein könnten.
Die Funktion $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ Eine (geschnittene) Glockenform im ersten Quadranten bedeutet, dass sie um das Maximum herum konkav und weiter davon konvex ist.
Dies macht es ziemlich schwierig, das Integral mit der Riemannschen Summe mit a in Beziehung zu setzen $>, <$, weil sich das Vorzeichen der Ungleichheit in beiden Bereichen ändert.
Darüber hinaus bei zunehmender $i, \, j$, während sich die Position des max bewegen $\approx \sqrt{i}$und so ungefähr nimmt seine Ausbreitung die Glockenspitze zu $\approx i^{m/2}$.
Seit der$\Delta x , \, \Delta y$ der Summe sind fest auf $1$Ich bezweifle, dass die Summe gegen das Integral konvergieren könnte.
In Bezug auf das Integral würde ich den folgenden Ansatz versuchen $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ dann bedenke das auch $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ wir können die Variablen wieder ändern $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ und fahren Sie dann mit der Approximation oder Serienerweiterung der Fehlerfunktion fort.