Basis zur Bestimmung einer eindeutigen Topologie
Wenn ich Munkres ' Topologie lese , habe ich das Gefühl, wenn wir eine Basis haben$\mathscr{B}$ am Set $X$, dann bestimmt die Basis eindeutig eine Topologie auf $X$;; Das heißt, wenn wir zwei Topologien haben$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ mit der gleichen Basis $\mathscr{B}$, dann $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Ich bin mir nicht sicher, ob ich Recht habe, da ich dies in der folgenden Definition nicht sehen kann:
Wenn $X$ gesetzt ist, eine Basis für eine Topologie auf $X$ ist eine Sammlung $\mathscr{B}$ von Teilmengen von $X$ (Basiselemente genannt) so, dass für jeden $x\in X$gibt es mindestens einen $B\in \mathscr{B}$ so dass $x\in B$ und wenn $x\in B_1\cap B_2$, wo $B_1, B_2\in \mathscr{B}$dann existiert es $B_3\in \mathscr{B}$ so dass $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Darüber hinaus die Basis $\mathscr{B}$ generiert eine Topologie
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ in U.$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ Teilmenge U.$}\right\}$,
Das ist die kleinste Topologie, die enthält $\mathscr{B}$. Daher denke ich, dass es wahrscheinlich ist, dass diese Topologien, deren Basis sind$\mathscr{B}$ sollte gleich sein $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Übrigens habe ich den Artikel Einzigartigkeit von Topologie und Basis konsultiert, und einer der Kommentare (von Henno hinterlassen) scheint meine Vermutung zu rechtfertigen, und sie erwähnten jeden offenen Satz$O$ ist eine Vereinigung der Elemente von $\mathscr{B}$, so $O$ ist bereits in der Topologie $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, aber wie konnten sie es wissen $O$kann auf diese Weise nur durch die Definition einer Basis geschrieben werden? Ich meine, in Munkres 'Buch erwähnte er in Lemme 13.1 nach meinem Verständnis, dass$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, im Gegensatz zu sagen, dass es für jede Topologie mit Basis gilt $\mathscr{B}$. Vielleicht verstehe ich das jetzt falsch.
Jede Hilfe wird sehr geschätzt !!
Antworten
Wir sagen diese Topologie $\mathcal T$ hat Basis $\mathcal B$ wenn $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Wenn zwei Topologien dieselbe Basis haben, fallen sie sofort zusammen.
Das für jeden zu sagen $x\in U$ Da ist ein $B_x\in\mathcal B$ so dass $x\in B_x\subseteq U$ ist gleichbedeutend damit, das zu sagen $U$ ist die Vereinigung von Elementen von $\mathcal B$speziell $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Was Sie vielleicht vermissen, ist das
Ein Set $\mathcal B$ von Teilmengen von $X$ ist eine Basis für eine Topologie (Bedeutung $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ ist eine Topologie) genau dann, wenn die gegebenen Bedingungen gelten, dh $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ und $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Ich würde von der Definition der Topologie als Sammlung aller offenen Mengen ausgehen. Beachten Sie nun, dass jede einzelne offene Menge als satztheoretische Vereinigung jedes Basiselements geschrieben werden kann, das einen Punkt enthält$x \in U$, das ist, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Beachten Sie nun, dass Sie unter der Annahme einer Basis einer Topologie immer zwei Basiselemente verwenden können$B_1, B_2$ mit nicht leerer Kreuzung und finden Sie ein drittes Basiselement in ihnen (nennen Sie es $B_3$). Trotzdem ist die von der Sammlung erzeugte Topologie ohne $B_3$und der mit $B_3$ ist genau das gleiche und dies kommt von der Tatsache, dass sich die satztheoretische Vereinigung nicht ändert, wenn wir eine Menge hinzufügen, die unter Berücksichtigung der Mengen bereits berücksichtigt wird $B_1$ und $ B_2$. Dies ist die Bedeutung, wenn Munkres schreibt, dass eine Basis für eine Topologie nicht wie eine Basis für einen Vektorraum ist. Unter diesem Gesichtspunkt können Sie also sehen, dass, da die satztheoretische Vereinigung aller (festen) offenen Mengen ein eindeutiges Objekt ist, Sie sagen können, dass eine Basis die Topologie bestimmt, aber nicht das Gegenteil.