Beispiel für Isomorphismen von Lie-Algebren
Ich suche ein Beispiel für eine isomorphe Lügenalgebra. 2 Algebren sind isomorph, wenn eine bijektive lineare Funktion existiert$g_1 \rightarrow g_2$ welche Karten alle $X,Y \in g_1$ mögen $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.
Also 2 Lie-Algebren, an die ich denken könnte, wären das Kreuzprodukt in ${\rm I\!R}^3$ und die Kommutatoralgebra eines linksinvarianten Vektorfelds, aber ich kann mir keine Funktion vorstellen, die sie wie zuvor angegeben abbildet.
Antworten
Beispiele, grob geordnet von leicht bis schwer:
Lassen $\mathfrak g$sei irgendeine Lügenalgebra. Die Identitätskarte$x \mapsto x$ ist ein Isomorphismus aus $\mathfrak g$ zu sich selbst.
Lassen $V$, $W$ Vektorräume über einem Feld sein $k$und definieren Sie Lie-Klammern auf ihnen als $[v_1, v_2] = 0$ und $[w_1,w_2]=0$ für alle $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Zeigen Sie, dass die Lie-Algebren$V$ und $W$ (mit diesen Klammern) sind genau dann isomorph, wenn $V$ und $W$haben die gleiche Dimension. (Dies sollte nur eine Überprüfung sein, die Sie verstehen, Isomorphismen von Vektorräumen, die absolute Basis der linearen Algebra.)
Lassen $k$ sei ein beliebiges Feld und $\mathfrak{gl}_n(k)$ die von allen gegebene Lügenalgebra $n \times n$-Matrizen vorbei $k$mit der vom Matrixkommutator angegebenen Lie-Klammer $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (wo $\cdot$ist die übliche Matrixmultiplikation). Lassen$g$sei invertierbar $n\times n$-Matrix vorbei $k$dh ein Element von $\mathrm{GL}_n(k)$. Zeigen Sie, dass die Karte$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ ist ein Isomorphismus aus $\mathfrak{gl}_n(k)$an sich selbst, dh ein Auto Morphismus$\mathfrak{gl}_n(k)$.
Lassen $\mathfrak{gl}_n(k)$sei wie im vorherigen Beispiel. Die Karte, die jede Matrix zu ihrer negativen Transponierung sendet,$$ A \mapsto -A^T$$ ist ein Isomorphismus aus $\mathfrak{gl}_n(k)$an sich selbst, dh ein Auto Morphismus$\mathfrak{gl}_n(k)$.
Lassen $k$ sei ein beliebiges Feld, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ eine zweidimensionale $k$-Vektorraum mit Basis $v_1, v_2$ und Lie Klammer $[v_1, v_2] = v_2$. Lassen$\mathfrak g_2$ sei noch zweidimensional $k$-Vektorraum mit Basis $w_1,w_2$ und $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Finden Sie einen Isomorphismus der Lie-Algebren$\mathfrak g_1$ und $\mathfrak g_2$.
Lassen $\mathfrak g_1$ und $\mathfrak g_2$ sei wie im vorigen Beispiel, nur dass jetzt die Lie-Klammer an ist $\mathfrak g_2$ ist gegeben durch $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ wo $c \in k^\times$ und $a \in k$. Finden Sie wieder einen Isomorphismus$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Für dieses und das vorherige Beispiel vgl. Klassifizieren von 1- und 2-dimensionalen Algebren bis hin zum Isomorphismus , Wie man einen expliziten Isomorphismus (explizit definiert) zwischen zwei beliebigen nichtabelschen Lie-Algebren der Dimension erhält$2$, Zweidimensionale Lügenalgebra , Zweidimensionale Lügenalgebra - was wissen wir, ohne die Klammer zu kennen? )
Lassen $k$ sei ein beliebiges charakteristisches Feld $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ die Lügenalgebra der Spurenlosigkeit $2 \times 2$-Matrizen (mit Lie-Klammer wie in Beispiel 3 angegeben). Lassen$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (die "geteilte Form von $\mathfrak{so}_3$") auch mit Lie-Klammer durch Matrixkommutator. Finden Sie einen Isomorphismus zwischen diesen beiden Lie-Algebren. (Vergleiche die Lie-Algebren$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ und $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Direkter Beweis dafür$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Ein expliziter Isomorphismus zwischen der dreidimensionalen orthogonalen Lie-Algebra und der speziellen linearen Lie-Algebra der Dimension$3$ und Links darin.)
Lassen $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (ein dreidimensionaler realer Unterraum der $2 \times 2$komplexe Matrizen); Überzeugen Sie sich selbst, dass dies mit der vom Matrixkommutator angegebenen Lie-Klammer (wie in Beispiel 3) eine Lie-Algebra ist. Zeigen Sie, dass es isomorph zu ist$\mathbb R^3, \times$dh die dreidimensionale reale Lie-Algebra mit Lie-Klammer, die durch das Kreuzprodukt gegeben ist. (Vergleiche Warum gibt es einen Faktor von$2$ im Isomorphismus $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Dies scheint das zu sein, worauf Sie in der Frage anspielen.)
Finden Sie einen Isomorphismus zwischen $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ und die schiefsymmetrische $4\times 4$ Matrizen vorbei $\mathbb C$. (Vgl. Expliziter Isomorphismus zwischen der vierdimensionalen orthogonalen Lie-Algebra und der direkten Summe spezieller linearer Lie-Algebren der Dimension 3. )
Finden Sie einen Isomorphismus zwischen der direkten Summe der Schrägsymmetrien $3 \times 3$ echte Matrizen mit sich selbst und der$4 \times 4$echte schiefsymmetrische Matrizen. (Vgl. Isomorphismus zwischen$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ und $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)
Zum $\mathfrak g$eine echte Lie-Algebra, die skalare Erweiterung / Komplexifizierung $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ ist eine komplexe Lie-Algebra mit Lie-Klammer, die durch bilineare Erweiterung von gegeben ist $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Einfach: Zeigen Sie, dass die Komplexifizierung von$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ ist isomorph zu $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Härter: Für$\mathfrak{su}_2$ wie in Beispiel 8 definiert, zeigen, dass die Komplexifizierung $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ ist auch isomorph zu $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: Zeigen Sie trotzdem die echten Lügenalgebren$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ und $\mathfrak{su}_2$sind nicht isomorph zueinander. (Vergleiche Präzise Verbindung zwischen Komplexifizierung von$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ und $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Sind Algebra Lie Komplexifizierungen$\mathfrak g_{\mathbb C}$ äquivalent zu Lie-Algebra-Strukturen auf $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? und wahrscheinlich noch viele mehr.)
Versuchen Sie auch, Lie-Algebra-Isomorphismen zu finden .