Berechnen des Gruppenrings $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ für ein Feld $k$ von Charakteristik $0$

Aug 15 2020

Betrachten Sie ein Feld $k$ von charakteristischer $0$ und eine positive ganze Zahl $n.$Im Beweis von Satz 4.19 von Polytopen, Ringen und K-Theorie von Bruns und Gubeladze heißt es, dass wir einen Isomorphismus haben$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ wo $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ ist der Gruppenring, der der zyklischen Gruppe von Ganzzahlen modulo entspricht $n;$Ich habe jedoch Schwierigkeiten, mich davon zu überzeugen. Ich glaube, dass die$k$-algebra Homomorphismus $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ durch die Zuordnung induziert $x^m \mapsto \overline m$ ist surjektiv, wo wir bezeichnen $\overline m = m \text{ (mod } n),$ also möchte ich das zeigen $\ker \varphi = (x^n - 1),$ aber ich habe das nicht geschafft.

Sobald dies festgestellt ist, erkenne ich, dass (als $k$ hat charakteristisch $0$) wir haben das $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ wo $\Phi_d(x)$ ist der $d$zyklotomisches Polynom. Folglich ist das Polynom$x^n - 1$spaltet sich in ein Produkt paarweise relativ primärer irreduzibler Polynome auf; Daher behaupten die Autoren, dass$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ist das Tensorprodukt von Domänen. Aber ich verstehe nicht wie$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ ob dies tatsächlich das ist, was die Autoren behaupten.

Ich würde mich über Einblicke, Kommentare oder Vorschläge sehr freuen. Dankeschön.

Antworten

2 JCAA Aug 15 2020 at 21:34

Über die erste Frage. Der Kernel enthält$x^n-1$. Der Polynomring ist PID, daher wird der Kernel durch ein Polynom erzeugt$f(x)$. Dann der Rest$r(x)$ von $f$ wenn geteilt durch $x^n-1$muss zum Kernel gehören. Das$r(x)$ hat Abschluss $<n$. Die einfache lineare Algebra zeigt das dann$r$ ist $0$. Daher wird der Kernel von generiert$x^n-1$.