Bestimmen Sie die Konvergenz einer Reihe.

Aug 15 2020

Hier ist die Serie:$$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$Die Methode, die ich verwende, um diese Reihe zu bestimmen, ist ein Vergleichstest, bei dem ich die folgende Sequenz konstruiere:$$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Was eine konvergente Reihe bildet, bei der jeder Term größer ist als die Terme in der obigen Reihe, sodass ich feststelle, dass die obige Reihe konvergiert. Allerdings weiß ich nicht, ob ich recht habe oder nicht. Wenn ich also falsch liege, sagen Sie mir bitte, wie ich es richtig mache, oder wenn ich richtig liege, bestätigen Sie dies bitte mit mir oder geben Sie mir eine alternative Methode zur Bestimmung der Konvergenz der obigen Reihe zur Diskussion. Vielen Dank.

Antworten

1 PacoAdajar Aug 15 2020 at 17:41

Ehrlich gesagt, wenn es keine ausdrückliche Anweisung gibt, einen Test zu verwenden, denke ich bei dieser Art von Reihen lieber an den Grenzvergleichstest (LCT) als an den Vergleichstest (CT).

Die übliche Aussage der LCT ist ungefähr so: Angenommen, das$\{ a_n \}$und$\{ b_n\}$sind Sequenzen mit$a_n \ge 0$,$b_n > 0$für alle$n$. Wenn$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$existiert und ist dann ungleich Null$\sum a_n$und$\sum b_n$zusammenlaufen oder zusammen divergieren.

Die LCT kümmert sich weniger um die Richtung der Ungleichung (anders als bei der CT, wo Sie bestimmte Ungleichungen überprüfen müssen, was lästig sein kann), und mehr um die Asymptotik, was sie viel leistungsfähiger macht. Was die Suche nach dem passenden angeht$b_n$als Vergleichsmaßstab verwenden? Die übliche Idee ist, die dominantesten Terme (dh die Terme, die am schnellsten ins Unendliche explodieren) im Zähler und Nenner zu betrachten.

In Ihrem Beispiel ist der dominante Term im Zähler$\sqrt{n}$, während der dominante Term im Nenner ist$n^8$. Dies deutet darauf hin, dass wir verwenden$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, was hier tatsächlich gut funktioniert. Wir bekommen$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, und wir wissen es$\sum b_n$konvergiert durch die$p$-Prüfung. So auch die Originalserie.

zkutch Aug 15 2020 at 16:11

Diese Methode hat einen eigenen Namen Direkter Vergleichstest und besagt Folgendes:

Wenn Serie$\sum b_n$konvergiert und$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$für ausreichend groß$ N \in \mathbb{N}, n> N$, dann$\sum a_n$konvergiert auch.

Hält$\sum a_n \leqslant \sum b_n$wenn Vergleich ist$\forall n \in \mathbb{N}$.

Wenn$\sum a_n$weicht dann ab$\sum b_n$ist divergierend.

In Buch: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey – Intermediate Calculus-Springer (2012) – Seite 105, Theorem 9.

Masacroso Aug 15 2020 at 16:31

Ihre Lösung ist in Ordnung, aber Sie fühlen sich etwas unsicher, lassen Sie mich zeigen, warum der Test funktioniert: eine Serie$\sum_{k= 1}^\infty a_k$, stellen definitionsgemäß den Grenzwert der Folge von It-Teilsummen dar$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, zum$s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.

Wann jeweils$a_k$positiv ist, dann ist die Folge$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$ist eine Folge positiver reeller Zahlen, die streng wachsend ist, und daher kann gezeigt werden, dass sie genau dann konvergiert, wenn sie beschränkt ist .

Wenn$a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$dann sieht man das leicht$0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$für jeden$k\in \mathbb N $, und so

$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$

$\Box$