"Beweis", dass Null gleich Eins ist, indem Zahlen unendlich subtrahiert werden
Kürzlich bin ich auf einen „Beweis“ dafür gestoßen $0=1$. So geht's:
Lassen $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Schon seit$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Jetzt klammern wir die$1-1-1-1-1-1-\cdots$ auf beiden Seiten und wir bekommen $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. Dann bekommen wir$1-x=0-x$. Damit,$1-x+x=0-x+x$. Daher,$1+0=0+0$ und so $1=0$.
Ich konnte nicht herausfinden, was bei diesem Beweis schief gelaufen ist. Das Ergebnis ist eindeutig nicht wahr, aber der Beweis scheint wahr zu sein. Ich habe dann ein paar Leute gefragt und sie alle konnten nicht herausfinden, was schief gelaufen ist. Kann mir bitte jemand helfen, herauszufinden, was schief gelaufen ist? Vielen Dank.
Antworten
Sogenannte unendliche Summen in der Mathematik haben eine formale Definition als Reihe und basieren auf dem Konzept der Teilsumme :$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ wo $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ ist Teilsumme.
Kommen wir nun zu Ihrem Beispiel: Wenn Sie überlegen $1-1-1-1-1-1-1-...$, dann sollten wir eine Teilsumme dafür konstruieren $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ Wie Sie sehen, hat die Teilsumme keine endliche Grenze, was bedeutet, dass dieser Ausdruck $1-1-1-1-1-1-1-...$ ist keine endliche Zahl und kann nicht als solche verwendet werden.
Ein lustiges Beispiel für einen solchen "Beweis" kann erhalten werden, wenn Sie den Ausdruck betrachten $1-1+1-1+1-1+1-...$ und untersuchen Sie nicht die Konvergenz: $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$
Wenn Sie eine unendliche Reihe schreiben, sollten Sie zuerst prüfen, ob sie konvergiert. Wenn nicht, funktionieren normale Verfahren wie die Belichtungsreihe nicht mehr.
Hier ist zum Beispiel ein ähnlicher (falscher) Beweis, dass alle ganzen Zahlen sind $0$: Lassen $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. Für jede ganze Zahl$n > 0$Klammern Sie die erste $n$ Begriffe so, dass $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. Daher$n=0$.
Lassen $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$
Schon seit $1−1=0$
$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.
Jetzt klammern wir die $1-1-1-1-1-1-\cdots$ auf beiden Seiten und wir bekommen
-->
$x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$.<--
Hier ist der Fehler. Ein Minus vor den Klammern negiert alles im Inneren.
So wird es tatsächlich:
$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$
Und ich denke nicht, dass es eine gültige mathematische Operation ist, die durchgestrichen werden muss $\infty$ auf beiden Seiten als $\infty$ ist nur ein Platzhalter für eine sehr große Anzahl (also keine konkrete große Anzahl) $\infty_{left} \ne \infty_{right}$).
Wenn Sie die Konvergenzfragen beiseite lassen, beachten Sie, dass die Subtraktion nicht assoziativ ist.
Mit nur einem Ausdruck des gleichen Typs mit drei Begriffen:
$(1-1)-1=-1$, und
$1-(1-1)=1$
Habe ich gerade bewiesen $1 = -1$???