Beweis, dass wir rationale Zahlen beliebig nahe finden können $\sqrt{2}$: direkte Annäherung. [Duplikat]
Die Aussage des Satzes:
Vorschlag . Für jede rationale Zahl$\epsilon > 0$gibt es eine nicht negative rationale Zahl $x$ so dass $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.
Der gebräuchlichste Ansatz, um den Satz zu beweisen, ist die Verwendung von Widersprüchen ( 1 , 2 ).
Meine Frage ist: Ist es möglich, den Satz direkt zu beweisen? Genauer gesagt ist es möglich, eine Funktion zu finden$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ so dass für willkürlich positive rationale $\epsilon$, wir haben
$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$
?
Antworten
Definieren $f(\varepsilon)$ die Kürzung von sein $\sqrt{2}$ zu $n$ Dezimalstellen, wo $10^{-n} \leq \varepsilon$ ist die nächste Potenz von $10$ von unten.
Dies stellt sicher, dass $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$
Zur Veranschaulichung, wenn $\varepsilon=0.2$ dann $n=1$ und die Ungleichung lautet $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$
Nehmen $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ Dieses Rationale ist weniger als $\epsilon$ Weg von $\sqrt2$.
Unter Verwendung der Tatsache, dass zwischen zwei reellen Zahlen eine rationale Zahl existiert, gegeben jede rationale$\varepsilon$ so dass $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ so dass $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, was gibt: $x^2 < 2$ und $(x+\varepsilon)^2 > 2.$